geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

92 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
de donde,
o sea,
2 — a + 6a = 2a — a2,
a2 + 3a + 2 = 0.
Las raíces de esta última ecuación son a = — 1, — 2, de manera que, en realidad,
hay dos rectas que cumplen con las condiciones especificadas del problema.
Las ecuaciones de estas dos rectas se obtienen
y ahora fácilmente de (3) sustituyendo
a = — 1 y a = —2
sucesivamente. Así, para a = — 1, tenemos
— 4-Ü- = 1
- 1 + 3 '
3* - y + 3 = 0;
y para a = — 2, tenemos
J L + y . = i,
— 2 4
2* — y + 4 = 0.
En la figura 51 se han representado las dos
rectas.
Tiene especial interés la familia de
rectas que pasan por la intersección de dos
rectas dadas. Supongamos que las ecuaciones de dos rectas que se
cortan son
A ix -f- B iy 4- Ci — 0 , (4)
A 2 x + B 2 y + C2 = 0 , (5)
y sea Pi(x\, yi) su punto de intersección. Consideremos la ecuación
ki(Aix Biy Ci) + í ) 2 (Asa: + Bzy 4- C¡ ) = 0 , (6)
en donde fci y son constantes arbitrarias que pueden tomar todos
los valores reales, exceptuando el caso en que ambas sean cero simultáneam
ente. Vamos a demostrar que (6) es la ecuación de la familia
de rectas que pasan por P\.
Como k\ y kz son constantes, la ecuación (6) es lineal en las
variables x y y , y , por tanto , representa una línea recta. Además,
como P\ (xi, «/i) está sobre ambas rectas (4) y (5), sus coordenadas
satisfacen sus ecuaciones, de manera que
A 1X1 + B iyi i- Ci = 0 ,
A2 Xi + B2 yi + Ca = 0.
(7)
( 8 )