geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 369
10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos 2x — y + 3z = 2 y 4x + 3y — z = 1 y es perpendicular al plano
3* — 4y — 2z = 9.
11. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos 2x — y — z = 2 y x + y — 3z+4 = 0 y tal que su distancia al origen
sea igual a 2. (Dos soluciones.)
12. La distancia de un plano al origen es igual a 3. Si el plano pasa también
por la intersección de los planos x + y + z — 11 = 0 y x — 4y + 5z — 10 = 0.
hállese su ecuación. (Dos soluciones.)
13. Un plano es paralelo al de ecuación 2x + 2y + z — 1=0, y el punto
(2, 2, 2) es equidistante de ambos planos. Hállese la ecuación del plano.
14. La distancia de un plano al punto (1, 0, 2) es 1. Sí el plano pasa por
la intersección de los planos 4x —2y — z + 3 = 0 y 2x — y + z — 2 = 0, hállese
su ecuación. (Dos soluciones. )
15. Un plano pasa por el punto (5, 2, — 1) y su traza con el plano X Y es
la recta x — 2y + 2 = 0, z = 0. Hállese su ecuación.
16. Un plano pasa por el punto (1, 6, — 2) y tiene la misma traza sobre
el plano X Y que el plano 3x — y — 8z + 7 = 0. Hállese su ecuación.
17. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos x — y + 2z+4 = 0 y 2x + y + 3z — 9 = 0 y es paralelo a la recta cuyos
números directores son [1, 3, —1].
18. La ecuación de un plano es Ax + By + Cz + D = 0. Hallar las condiciones
que deben satisfacer sus coeficientes para que pertenezca al haz de
planos representado por la ecuación
Aix + B-¡y + Ciz + Di + ft (A 2X + B-¡y + C2Z + D 2 ) = 0.
19. Demostrar que los tres planos
2x — y + 2z — 8 = 0, 8x — y + 13z — 21=0 y 4x + y + 9z — 5 = 0
pertenecen al mismo haz.
20. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que los tres
planos A íx + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2, 3, tengan uno y solamente un
punto común es
Ai Bi Ci
A 2 B2 C 2 7^ 0.
Az B3 C 3
21. Demostrar que los tres planos
3jc + 2y — z — 3=0, 2x — 3y — 3z — 4 = 0 y x 7 y — 2z+7 = 0
tienen solamente un punto común, y hallar sus coordenadas.
22. Supongamos que los tres planos
A íx + Biy + Ciz + Di = 0, ¿ - 1, 2, 3,
tienen uno y solamente un punto P en común. Demostrar que la radiación de
planos cuyo vértice es P tiene por ecuación
Ai* + B iy + Ciz +Di + fci (A 2* + Biy + C 2Z + D 2)
en donde ki y kz son los parámetros.
- | - ^ 2 ( ^ 3 * + B sy -{- C 3 2 -i- D 3 ) = 0 .