geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

CAPITULO XV
LA RECTA EN EL ESPACIO
122. Introducción. En el capítulo anterior hicimos un estudio del
plano como la más sencilla de todas las superficies. Podríamos continuar
nuestro trabajo estudiando superficies más complicadas antes de
considerar las curvas en el espacio. Pero la línea recta en el espacio,
considerada como la intersección de dos planos diferentes, se presenta
tan naturalmente después del estudio del plano , que dedicamos completo
el presente capítulo a su estudio. El siguiente capítulo lo reservaremos
para tratar el problema general de las superficies.
123. Forma general de las ecuaciones de la recta. Sea l la recta
de intersección de dos planos diferentes cualesquiera, cuyas ecuaciones
, en la forma general, son
Aix + Bxy + Ciz + Di = 0 ,
A íx + Biy + Ciz + Ü2 = 0. }
Cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan ambas ecuaciones del
sistema (1 ) está sobre cada uno de los planos y , por lo ta n to , está
sobre su intersección Z. R ecíprocam ente, cualquier punto que esté sobre
l debe estar sobre cada uno de los planos, y sus coordenadas
deben satisfacer, por lo ta n to , ambas ecuaciones. Según e sto , las
dos ecuaciones del sistema (1), consideradas simultáneamente, son
las ecuaciones de una recta en el espacio. El sistema (1 ) es llam ado,
apropiadamente, forma general de las ecuaciones de la recta.
En seguida observemos el hecho importante de que las ecuaciones
de cualquier recta particular en el espacio no son únicas. En efecto ,
podemos considerar, como en el Artículo 121, que la recta l , representada
por el sistema (1), es la arista del haz de planos
A\X + Biy + Ciz + Di + k(AiX + B ty + Ciz + D i) = 0 , (2 )
( 1)