geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 363
p lan a, a saber, la determinación de las ecuaciones de las bisectrices
de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
(apartado [6], A rt. 3 3). Por ta n to , se deja al estudiante como
ejercicio la demostración de que las ecuaciones de los planos bisec-
tores son
Aix + Biy + C\z + Di _ Aix + B2y + Czz + Di
± V i i2 + Bi2 + Ci2 “ ± V A22 + Bz2 + C22
y
Aix 4~ Bvy + C\Z + Di _ A¡x + B2y + Caz -f- Di
± V A i! + Bi2 + Ci2 ± VA22 + B22 + C22 ’
en donde los signos de los radicales se escogen de acuerdo con el teorema
10, Artículo 119. La distancia entre estos dos planos puede
calcularse por medio del teorema 11, Artículo 120.
Ejemplo 2. Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos
diedros suplementarios formados por los dos planos bx — 7y + 6z — 22 = 0
y 2x + 6y - 3z + 14 = 0.
Solución. Las formas normales de las ecuaciones de los dos planos dados son
bx — 7y + 6z — 22 2x + by — 3z + 14
----- = 0 y ---------— ................... = 0.
V 36 + 49 + 36 - V 4 + 36 + 9
Por tanto, la ecuación de uno de los planos bisectores es
o sea,
y la ecuación del otro es
o sea,
6x — 7y + 6z — 22 _ 2x + 6y — 3z + 14
11 - 7
64* + 17y + 9z = 0,
bx — 7y + bz — 22 _ _ 2x + 6y — 3z + 14
11 - 7
20* - 115y + 75z - 308 = 0.
EJERCICIO S. Grupo 55
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. La normal a un plano tiene una longitud de 5 y dos de sus ángulos
directores son a — 45°, 0 = 60°. Hallar la ecuación del plano. (Dos soluciones.
)
En cada uno de los ejercicios 2-5, redúzcase la ecuación dada a la forma
normal, y hállense la longitud y los ángulos directores de la normal.
2. 8x + 4y - z + 18 = 0. 4. 3x + 4y - 12z = 0.
3. 6* + by + 7z - 22 = 0. 5. 3x - 4y - 10 = 0.