geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACIONES PARAMETRICAS 281
Como m3 + 1 0, podemos dividir por este factor. Esto nos da la ecuación
rectangular del lugar geométrico,
llamado círculo director de la elipse.
x 2 + y2 = a2 + b2,
En este ejemplo se ha obtenido la solución introduciendo un solo
parámetro. E l ejemplo siguiente muestra un problema de lugar geométrico
en el cual se introducen varios parámetros.
Ejemplo 2. Una recta l pasa por el punto fijo P i ( — 1, — 3) y corta a la
recta h ; 3x + 2y — 6 = 0, en el punto A, y a la recta h : y — 3 = 0, en el
punto B. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento
de recta AB a medida que la recta l gira en torno del punto P j.
Solución. Sea P (x , y) (fig. 133) un punto cualquiera del lugar geométrico,
y sean ( x', y') y {x", 3) las coordenadas de los puntos A y B, respectivamente.
Hemos introducido así tres parámetros, x' , y' y x" ; su eliminación
requiere, por lo tanto, cuatro relaciones.
Dos de estas relaciones pueden obtenerse
partiendo del hecho de que P es
el punto medio del segmento A B ; es­
é
tas son
I ..//
x =
*
-----------
' + x"
( 1)
(2 )
Como el punto A está sobre la recta h ,
tenemos una tercera relación escribiendo
que sus coordenadas verifican la ecuación
de la recta:
3x> + 2y> - 6 = 0. (3)
\ /»(*", 3),
0
\ /p(*,y)
xMx',v)
- 1,-3) / h
Fig. 133
Como los puntos A, B y Pi son colineales, tenemos, escribiendo que las pendientes
de A Pi y B Pi son iguales, la cuarta relación:
De la ecuación (2) ,
y '+ 3 6
x '+ \ x" + 1
y' = 2y — 3.
Sustituyendo este valor de y' en la ecuación (3 ), tenemos
xi = 6 — 2y' 6 - 4y + 6 _ 12 - 4y
3 3 3 ’
Sustituyendo este valor de x' en la ecuación (1 ), resulta
x" = 2x - x' = 2x - ü ~ = 6* + ^ ~ 1Z.
3 3
(4)