geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 143
5. V 3y2 + 3xy - 1 = 0; 60°.
7. II*2 + 24xy + 4y2 — 20 = 0; are tg 0,75.
8. x 4 + y* + 6*2y2 - 32 - 0; 45°.
9. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación
2x — y — 2 = 0 en otra que carezca del término en x'.
10. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación
x ■+■ 2y — 2 = 0 en otra que carezca del término en y1.
En cada uno de los ejercicios 11-16, por una rotación de los ejes coordenados,
transfórmese la ecuación dada en otra que carezca del término en x' y'.
11. 4x2 + 4xy + y1 + \ / 5x = 1.
12. 9*2 + 3xy + 9y2 = 5.
13. 5*2 + 4xy + 2y2 = 2.
17. La ecuación de una circunferencia es x % + y% = r2. Demostrar que la
forma de esta ecuación no se altera cuando se refiere a los ejes coordenados que
han girado cualquier ángulo 8. Se dice que esta ecuación es invariante por
rotación,
18. Deducir las ecuaciones de transformación del teorema 2 (Art. 51) cuando
el ángulo 8 es obtuso.
19. Las ecuaciones de transformación del teorema 2 (Art. 51) pueden considerarse
como un sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas x' y y1. Para
cualquier valor de 8, demuéstrese que el determinante de este sistema es la unidad
y, por tanto, que por la regla de Cramer (Apéndice IB, 6) el sistema tiene
una única solución para x' y y' dada por
x' = x eos 6 -j- y sen 6,
y' — — x sen 6 + y eos 6.
14. 2x2 - 5xy + 2y2 = 0.
15. x 2 — 2xy + y2 — 4 = 0.
16. 16*2 + 24*y + 9y2 + 25* = 0.
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones reciprocas de las originales de transformación.
20. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, una cierta ecuación se
transformó en 4x'2 — 9y'2 = 36. Hállese la ecuación original usando el resultado
del ejercicio 19.
52. Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas.
Acabamos de ver q u e , por una traslación o una rotación de los ejes
coordenados, es posible transform ar muchas ecuaciones en formas
más simples. Es entonces lógico inferir que se puede efectuar una
simplificación mayor aún aplicando ambas operaciones a la vez. Si
una ecuación es transformada en una forma más simple por una traslación
o una rotación de los ejes coordenados, o por am bas, el proceso
se llama simplificación por transformación de coordenadas.
Consideremos primero el caso en que una traslación de los ejes
coordenados a un nuevo origen 0'(h, k) es seguida p o ru ñ a rotación