geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

193 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
22. SiPi(xi, yi) es un punto cualquiera de la hipérbola b2x2 — a2y2 = a2b2,
demostrar que las longitudes de sus radios vectores son | exi + a | y | exi — a |.
23. Hallar las longitudes de los radios vectores del punto (6, í) de la hipérbola
5x2 — 4y2 = 80.
24. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
mueve de tal manera que su distancia del punto (6, 0) es siempre igual al doble
de su distancia de la recta 2x — 3 = 0.
25. La base de un triángulo es de longitud fija siendo sus puntos extremos
(3, 0) y (— 3, 0) . Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del
vértice opuesto si el producto de las pendientes de los lados variables es siempre
igual a 4. Trazar el lugar geométrico.
66. Asíntotas de la hipérbola. Si de la forma canónica de la
ecuación de la hipérbola
despejamos y , obtenemos
y — ± — V & — a2,
Q/
que puede escribirse en la forma
b2x 2 — a2y2 = a 2í>2, ( 1 )
Frecuentem ente se desea investigar lo que ocurre en una ecuación
cuando una de las variables aum enta num éricamente sin lím ite. (Ver
nota 3 , A r t. 1 8 .) Si un punto de la hipérbola (1 ) se mueve a lo
largo de la curva, de m anera que su abscisa x aum enta numéricamente
sin límite , el radical del segundo miembro de (2 ) se aproxima m ás y
más a la unidad , y la ecuación tiende a la forma
Como la eeuación (3 ) representa las rectas y = — x y y = — — x,
esto nos conduce a in ferir, de la definición de asíntota (A rt. 1 8 ), que
la hipérbola es asíntota a estas dos rectas. Ahora demostraremos
que esta deducción es correcta.
Sea Pi (xi, y i) un punto cualquiera de la parte superior de la rama
derecha de la hipérbola (1), como se indica en la figura 96. La ecuación
de la recta y — —
d
x puede escribirse en la forma
bx — ay = 0. (4)
( 2 )
(3)