geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 145
son (x, y) y (x", y"), respectivamente, las ecuaciones de transformación
del sistema original al nuevo sistema de coordenadas son
x = x" eos 6 — y" sen 6 + h ,
y = x" sen 6 + y" eos 6 + k ,
en donde 8 es el ángulo de rotación y ( h , k) son las coordenadas del
nuevo origen referido a los ejes coordenados originales.
N O TA S. 1. Las ecuaciones de transformación dadas por el teorema 1 del Artículo
50, teorema 2 del Artículo 51 y teorema 3 anterior son todas relaciones
¡incales. De aquí que el grado de la ecuación transformada no pueda ser mayor
que el de la ecuación original. Ni tampoco puede ser menor; porque si lo fuera,
podríamos, por transformación de coordenadas, regresar la ecuación transformada
a su forma original y elevar así el grado de la ecuación. Pero acabamos de
ver que esto es imposible. Por tanto, el grado de una ecuación no se altera por
transformación de coordenadas.
2. Aunque ¡as ecuaciones de transformación del teorema 3 pueden emplearse
cuando se van a efectuar simultáneamente una traslación y una rotación, es,
generalmente, más sencillo, efectuar estas operaciones separadamente en dos
pasos diferentes. El teorema 3 explica que el orden de estas operaciones no tiene
importancia. Sin embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la
cual los términos en x 2, y2 y xy forman un cuadrado perfecto, los ejes deben
girarse primero y trasladarse después (ver el ejercicio 10 del grupo 22). Este caso
particular será estudiado más adelante en el Capítulo IX.
Ejemplo. Por transformación de coordenadas, simplificar la ecuación
3*2 - 2xy + 3y2 - 2* - lOy + 9 = 0. (4)
Trácese el lugar geométrico y todos los sistemas de ejes coordenados.
Solución. Como los términos de segundo grado en (4) no forman un cuadrado
perfecto, podemos primero trasladar los ejes a un nuevo origen (h , k) .
Por tanto, usando las ecuaciones de transformación del teorema 1 (Art. 50) ,
obtenemos, de la ecuación (4) ,
3(*' + ft)*-2(*' + A) (y' + fe)+3 (y' + fe)2
- 2 ( x ’ + h) - 10(y'+ fe) + 9 = 0,
la que, después de desarrollar, simplificar y agrupar términos, toma la forma
3*'2 - 2*'y' + 3y'2 +(6/> - 2fe - 2)*' + ( - 2/j + 6fe - 10) y'
+ (3/j2 - 2hk + 3fe2 - 2h - lOfe + 9) = 0. (5)
Para eliminar los términos de primer grado en (5) , igualamos sus coeficientes
a ceto. Esto nos da el sistema
6fo — 2k — 2 = 0,
- 2h + 6fe - 10 = 0,