geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA PARABOLA 165
Vimos en el Artículo 56 que la ecuación (2 ) se representa gráficamente
por una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) ei
eje Y . Por tanto , las propiedades analíticas de la función cuadrática
( 1) pueden estudiarse convenientemente por medio de las propiedades
geométricas de la parábola (2). Si reducimos la ecuación (2 ) a
la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, completando
el cuadrado en x , obtenemos
Fig. 81
que es la ecuación de una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide
con) el eje Y, y cuyo vértice es el punto ^ — 2 a ’ ° ~ 4a ) ' Si a > 0,
la parábola se abre hacia arriba (fig. 81 [ a ]); si a < 0 , la parábola
se abre hacia abajo (fig. 81 [ b ]).
Un punto de una curva continua cuya ordenada sea algebraicamente
mayor que la de cualquiera de los puntos vecinos a él se llama
punto máximo de la curva. Análogamente, un punto cuya ordenada
sea algebraicamente menor que la de cualquiera de los puntos vecinos
a él se llama punto mínimo de la curva. Evidentem ente, si a > 0
(fig. 81 [a]) la parábola ( 2 ) tiene un solo punto mínim o, el vértice
V . De manera semejante, si a < 0 (fig. 81 [&]) la parábola (2)
tiene un único punto m áxim o, el vértice V . La interpretación analítica
c3 bien obvia. Como las coordenadas del vértice V de la pará­
bola (4 ) son ^ ( — ±
\ 2a ’ 4 a )
cuadrática (3) tiene, para
x = — b_
2 a'
- z
se sigue que a > 0 la función
un valor mínimo igual a