geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 23 1
La fam ilia de elipses y la familia de hipérbolas del sistema (7) de
cónicas homofocales son trayectorias ortogonales entre s i.
Debido a esta propiedad, se dice que una familia de cónicas centrales
homofocales es auto-ortogonal. Un ejemplo de una familia auto-
ortogonal de parábolas es el sistema de dichas curvas que tienen un
foco común y un eje com ún. Tal sistema puede representarse convenientemente
por la ecuación
y2 = 4i-(x + i ) , (9 )
en la que el parám etro k puede tomar todos los valores reales excepto
cero. Las parábolas del sistema (9) tienen un foco común en el origen,
y el eje X como eje común ; se abren hacia la derecha o hacia la
izquierda según que k > 0 o k < 0. Las parábolas que se abren en direcciones
opuestas se cortan ortogonalmente. (Ver los ejercicios 28-30
del grupo 36 siguiente.)
EJERCICIOS. Grupo 36
Los ejercicios 1-6 deben resolverse usando el teorema 6 del Artículo 76.
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1- Hallar ¡as ecuaciones de la tangente y de la normal a la cónica
x2 — 2xy + y2 + 4x - y — 3 = 0
en el punto (1, 2).
2. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la cónica
x2 — xy + y2 + 2x — 2y — 1 » 0,
de pendiente 3.
3. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la cónica
x2 — 2xy + y2 + 2x — 6 = 0,
trazadas por el punto ( — 3, — 7) .
4. Para el punto (1, 1) de la cónica x2 + 2xy + y2 + 2x — 6y = 0- hallar
las ecuaciones de la tangente y de la normal, y las longitudes de la tangente,
normal, subtangente y subnormal.
5. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la cónica 3xy — 2x + y — 1 = 0
que son perpendiculares a la recta 2x — 2y + 7 = 0.
6. Hallar el ángulo agudo de intersección de la recta 2x — y — 1 = 0 y la
cónica x2 — 4xy + 4y2 + 2y — 2x — 1 = 0 en cada uno de sus puntos de intersección
.
7. Demostrar el teorema 6 del Artículo 76.
8. Demostrar que los resultados del ejercicio 10 del grupo 18 (Art. 45) ,
teorema 4, Artículo 57; teorema 4, Artículo 63, y teorema 5, Artículo 70,
pueden obtenerse como corolarios del teorema 6, Artículo 76.