geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA LINEA RECTA 75
Aunque (5) y {(3) representan la misma recta l, debe tenerse presente que (5)
es la forma normal, y (6) no lo es. La importancia de esta distinción se apreciará
cuando consideremos las aplicaciones de la forma normal (Art. 33) .
32. Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la
forma normal. U sualm ente, la ecuación de una recta se da en la forma
general
A x + By + C = 0. (1)
Sin embargo , la forma normal
x eos co + y sen co — p = 0 , (2)
es útil para ciertos tipos de problemas. Por esto consideraremos en
este artículo el método de obtener la forma normal a partir de la forma
general de la ecuación.
Si las ecuaciones (1 ) y (2) representan la misma recta, sus
coeficientes correspondientes deben ser proporcionales (apartado (c)
del teorema 6 , A rt. 30). Por tanto ,
eos co = kA , (3)
sen co = k B , (4)
— p = kC . (5)
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3) y (4 ), y sumamos
, obtenemos
eos2 co + sen2 co = k2 (A2 + B 2).
Pero como eos2 co +• sen2 co = 1, esta última relación nos da
k = ------ . * A2 + B 2 0. (6)
± V A 2 + B2
Si se sustituye este valor de k en cada una de las ecuaciones (3 ), (4)
y (5 ), obtenemos las relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes
de las dos formas (1) y (2). Estas son :
A B
eos co = -------. . - = , sen 00 =
± V A 2 + B 2 ’ ' ± v A 2 + B 2 ’
C
V ± V A 2 + B 2 ’
y la recta definida por la forma general (1) tiene por ecuación en la
forma normal
A , B , C
--y + - — = 0 .
± V A 2 + B 2 ± V A 2 + B 2 ± V A 2 + B2