geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA ELIPSE 187
Una im portante propiedad focal de la elipse está basada en el
siguiente teorem a :
T eo r em a 6 . L a normal a una elipse en uno cualquiera de sus
puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
D em o s t r a c ió n . E l teorem a no pierde generalidad tom ando la
ecuación de la elipse en su form a canónica
b2x 2 + a2 y 2 = a2b2. ( 1)
E n este caso , sea n (ü g . 92) la norm al a la elipse en un punto cualquiera
P i (x i , y i ) de la c u rv a . Sea a el ángulo form ado por n y el
radio vector F P i, y (3 el form ado
por n y el radio vector F 'P i . Vamos
a dem ostrar que a = (3 .
P or el teorem a 4 an terio r, la
pendiente de la elipse en P i ( x i , y \ )
Xi
es — -=— , de m anera que la penes
2/ i
diente de la norm al n es Las
ir xi
pendientes de los radios vectores
F P i y F 'P i son ——— y ■ y]_- ,
Xl — C J Xl + c
respectivam ente. E n to n ces, por el teorem a 5 , Artículo 10 , resulta :
tg a =
1 +
________ 2/i a2 2/i
xi — c b2 xi
( 2/1 ( a22/i\
\ xi — c ) \ b 2xi/
b2 xi yi — a 2 xi yi + a2 cyi
b2 Xi2 — b2 ex i + a2 y i2
Como el punto Pj está sobre la elip se, sus coordenadas ( x i, y i) satisfacen
la ecuación (1), es d e c ir,
b2 Xi2 + a2 y i2 = a 2 b2.
Usando esta relación y la relación c2 = a2 — b2 , tenemos :