geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES
Considerem os prim ero el paso de una ecuación rectangular a su
form a p o la r. La ecuación dada contiene como m áxim o las dos v ariables
x y y . P or ta n to , si sustituim os la x y la y por sus valores
dados por las ecuaciones (1 ) y ( 2 ) , resp ectiv am en te, obtenem os la
ecuación polar d irectam en te, aunque no siem pre en su form a m ás
sim ple. La ecuación (3 ) puede usarse algunas veces ventajosam ente
en esta tran sfo rm ació n .
Veamos ahora la transform ación de una ecuación polar a su form a
re c ta n g u la r. La ecuación dada contiene como m áxim o las dos variables
r y 8 . Podem os u s a r, adem ás de las fórm ulas ( 1 ) , (2 ) y ( 3 ) ,
las relaciones (4 ) y (5 ) que expresan a 8 y a r , respectivam ente,
en función de x y y . T a m b ié n , si la ecuación polar contiene algunas
funciones trigonom étricas de 8 , podem os expresar prim ero tales funciones
en función de sen 6 y eos 8 , y entonces usar la fórm ulas
(6 ) y ( 7 ) .
U n resum en de los resultados anteriores viene dado en el teorem a
siguiente :
T e o r e m a 1 . S i el polo y el eje polar del sistema de coordenadas
polares coinciden, respectivamente, con el origen y la parle positiva del
eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, él paso de uno a otro
de estos dos sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes fó rm ulas
de transformación:
x = r eos 9 , y = r sen 9 , x2 + y 2 = r2 , 9 = are tg ,
,----------------------------------; y x
r = ± V x2 + y 2 , sen 8 = ± , — ¡— ¿ , eos 8 = ± •
J ’ v x 2 + y 2 ’ v X" + y
Ejemplo 1. Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas
polares son (4, 120°) .
Solución. En este caso, r = 4 y 6 = 120°. Por tanto, por el teorema 1,
x = r eos 0 = 4 eos 120° = 4 ^ — -1-^ = — 2
VI
y y = r sen 8 = 4 sen 120° = 4 • —-— = 2 V 3 ,
de manera que las coordenadas rectangulares de P son ( — 2, 2 V* 3 ) .
Ejemplo 2, Hallar un par de coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas
rectangulares son (3, — 5) .
Solución, En este caso, x = 3 y y = — 5. Por tanto, por íl teo/cma 1,