geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 409
cónica de vértice en el origen se representa por una ecuación homogénea
en las tres variables x , y y z.
Recíprocam ente, consideremos a la superficie representada por la
ecuación
f{x,y,z) = 0 (9)
que es homogénea en las tres variables x , y y z . E n consecuencia de
esto , el origen O está sobre esta superficie. Sea P (x i , y i , z i) otro
punto cualquiera de la superficie; sus coordenadas satisfacen, por
tan to , a la ecuación (9). Como esta ecuación es homogénea, tiene
también la solución kxi , k y i, k z i, en donde k es una constante cualquiera
, de manera que el punto P ' {kxi , k y i, kzi) está también sobre
la superficie. Pero, evidentem ente, el punto P ' está sobre am b as, la
recta OP y la superficie, para todos los valores de k, y , en consecuencia
, OP está sobre la superficie. De acuerdo con e sto , se sigue
que la ecuación (9) representa una superficie cónica con vértice en el
origen y una de cuyas generatrices es la recta O P .
Vamos a hacer un resumen de los resultados precedentes en el siguiente
T eorem a 8 . Una ecuación representa una superficie cónica con
vértice en él origen , si y solamente si es homogénea en las tres variables
x , y , z y es de grado no menor que dos.
NOTAS. 1. El teorema implica que una ecuación lineal homogénea en
x, y y z no representa un cono, y recíprocamente. Ya vimos que tal ecuación
representa un plano que pasa por el origen. Pero un plano no puede clasificarse
como un cono de acuerdo con nuestra definición, que excluye el caso en que el
vértice esté en el plano de la directriz.
2. El estudiante debe observar, en relación al teorema 8, que una ecuación
homogénea debe en realidad representar una superficie, antes de que pueda clasificarse
como una superficie cónica con vértice en el origen. Así, la ecuación
x 2 + 4y2 4- 3z2 = 0 es homogénea en x, y y z, pero no representa una superficie
cónica sino que representa solamente un punto, el origen (ver el Art. 128) .
Ejemplo 2. Identificar y construir la superficie cuya ecuación es
x2 4- yz = 0. (10)
Solución. Además de la solución x = y = z = 0, la ecuación (10) tiene
un número infinito de soluciones reales. En efecto, si asignamos a y y z un
par cualquiera de valores reales diferentes de cero que sean de signos contrarios,
la solución correspondiente para x constará de dos valores reales. Por tanto,
por el teorema 8 anterior, la ecuación (10) representa una superficie cónica cuyo
vértice está en el origen.
Para construir la superfie es necesario solamente obtener una directriz. Así,
para z = 2 , obtenemos de la ecuación ( 10) la directriz
x2 = — 2 y, z = 2,