geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

342 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
los números directores de l son [ x — x \, y — yi, z — zi ]. Por tanto ,
por el corolario 2 del teorema 7 , Artículo 112 , tenemos
A(x — xi) + B (y — yi) + C (z — z i) = 0 , (1 )
y esta es la condición que debe satisfacer cualquier punto del plano.
La ecuación (1 ) puede escribirse en la forma
Ax + By + Cz — (Axi + By\ + Czi) = 0 ,
y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y ,
por tanto , puede reemplazarse por
Z el término constante — D , resulta
que la ecuación es de la forma
Ax + By + C z + D = 0 . (2 )
Recíprocamente, si Pz(x2, yi, z¡)
es un punto cuyas coordenadas satisfacen
la ecuación (2 ) y , por
ta n to , a la ecuación ( 1 ) , se verifica
que
A(x2 — x¡) + B (y 2 — y\)
+ C (z 2 — Zl) = 0 ,
Fig. 164 y como esta igualdad establece que
la recta Z' , que pasa por los puntos
P i y P 2 es perpendicular a la normal n y , por tanto , está sobre
el plano, resulta que el punto P 2 que está sobre l ' está también sobre
el plano. Por tanto, la ecuación (2 ) es la ecuación del plano.
Se le llama forma general de la ecuación del plano.
Este resultado se expresa en el siguiente
T e o r e m a 1 . La ecuación general de un plano es de la forma
Ax -(- B y 4- Cz -f- D = 0 ,
en donde A , B , C y D son constantes, y [ A , B , C ] son los números
directores de su normal.
Vamos a establecer ahora el recíproco del teorema 1 :
T e o r e m a 2 . Toda ecuación lineal de la forma
Ax + B y + Cz + D = 0 ,
en la que por lo menos uno de los tres coeficientes A , B y C es diferente
de cero, representa un plano cuya normal tiene por números directores
[A , B , C ].