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276 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Para las coordenadas (x , y) del punto P , tenem os:
x = OE = OD + DE = OD + FP = OC eos 6 + CP sen |3
= (a + b) eos 0 — b eos 0 ,
b
y = EP = DF = DC - FC = OC sen 0 - CP eos (3
= (a + b) sen 6 — b sen 0 ,
de manera que las ecuaciones paramétricas de la epicicloide son
x = (a + b) eos 9 — b eos a-~ ^ 9 , ]
Ct |
y = (a + 6) sen 0 — b sen —^— 0 .
> ( ! )
Cada punto de la epicicloide que está sobre la circunferencia fija ,
tales como A y G , es un pico; la porción de curva comprendida entre
dos picos sucesivos se llama arco. El número de picos y arcos depende
de las magnitudes relativas de los radios a y 6 . Sea r la razón de
o a b , de manera que a = rb. Si r es un número en tero , la epicicloide
será , evidentemente , una curva cerrada que tiene exactamente
r picos y r arcos ; se dice entonces que la curva es una epicicloide de r
pica. Si r no es un número entero pero es racional, el punto trazador
P dará la vuelta en torno de la circunferencia fija dos o más veces
antes de regresar al punto de partida A ; en este caso , los arcos de la
curva de diferentes circuitos se cortarán. Si r es irracional, el punto
trazador no regresa exactamente al punto de p artid a.
Cuando a = b , de manera que r = 1, tenemos la epicicloide de un
pico o cardioide (véase el ejemplo 1 del Artículo 82 y el ejercicio 21
del grupo 41, Artículo 88). De las ecuaciones (1) se deducen las
siguientes ecuaciones paramétricas de la cardioide :
x = 2a eos 6 — a eos 29 , y = 2a sen 9 — a sen 29 . (2)
Una hipocicloide es el lugar geométrico de un punto fijo cualquiera
de una circunferencia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra
circunferencia fija. Por un procedimiento semejante al empleado para
la epicicloide, podemos demostrar que las ecuaciones paramétricas de la
hipocicloide son
x — (a — b) eos 9 + b eos ° ^ 9 , ]
7, } (3 )
/ i n „ , a — b „
y = {a — b) sen 6 — u sen —-— 9 ,