geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 357
Adoptaremos el convenio de que el segmento OPi está dirigido de
O a Pi y que su longitud p es un número positivo. V am os, pues , a
obtener la ecuación del único plano que pasa por Pi y es perpendicular
a OP\.
Sea P(x, y, z) un punto cualquiera del p lan o , diferente de P\.
Tracemos el segmento PiP. Por el teorema 3 del Artículo 110, las
coordenadas del punto Pi son
xi = p eos a , 2/1 = p eos |3 , zi = p eos y .
Por tanto , por el corolario 2 del teorema 5 , Artículo 111, un sistema
de números directores para P iP es [x — p eos a , y — p eos (3 ,
z — p eos y ] • También un sistema de números directores para OPl es
Z
Fig. 166
L eos a , eos (3 , eos y ] . Ahora bien , si el punto P está sobre el plano
los segmentos OPi y P iP son perpendiculares entre sí. Por ta n to ,
por el corolario 2 del teorema 7 , Artículo 112, las coordenadas del
punto P deben satisfacer la condición necesaria y suficiente expresada
por la relación
eos a (x — p eos a ) + eos (3 (y — p eos (3) + eos y (z — p eos y ) = 0 ,
que es la ecuación buscada del plano. Desarrollando el primer miembro
, obtenemos
x eos a + y eos (3 + z eos y — p (eos2 a + eos2 [3 + eos2 y ) = 0 ,
la cu al, por el teorema 4 del Artículo 110 , se reduce a
x eos a + y eos (3 + z eos y — p = 0.
E sta ecuación se llama forma normal de la ecuación del p lan o , y de
aquí el teorema siguiente.