geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA RECTA EN EL ESPACIO 373
Cada una de las formas (1), (2) y (3) consta de tres ecuaciones
, pero en cada caso solamente dos de estas ecuaciones son independientes
.
Si uno o dos de los números directores [a, b, c] de l son cero, no podemos
usar ni la forma (2) ni la (3) . En tales casos, debemos emplear las relaciones
(1). Por ejemplo, digamos que a — 0, pero ó y a son ambos diferentes
de cero. Entonces por las relaciones (1), tenemos, para las ecuaciones de l.
x = xi, y — yi = kb, z — Zi = kc
las cuales, de acuerdo con la forma simétrica (2) , pueden escribirse como
Para a — 0, la recta l es perpendicular al eje X y, por tanto, es paralela al
plano Y Z . Debe estar, en consecuencia, sobre un plano paralelo al plano Y Z .
Esto se índica analíticamente por la ecuación x -- xi. El estudiante debe obtener
y discutir las ecuaciones de una recta para todas las combinaciones posibles
de uno o dos números directores iguales a cero.
Vamos a hacer un resumen de los resultados precedentes en el siguiente
T eorem a 1. La recta que pasa por el punto dado P i(x i, y i , zi)
y cuyos números directores son [ a , b , c ] tiene por ecuaciones
x — xi = k a , y — y i = k b , z — zi = kc ,
en donde k es una constante diferente de csro.
S i los números directores [ a , b , c ] son todos diferentes de cero,
estas ecuaciones pueden escribirse en la forma simétrica
X — Xl
a
y - yi
b
z — Zi
c
NOTA. E s importante para el estudiante observar que los números directores
de una recta pueden obtenerse directamente de la forma simétrica, solamente si
el coeficiente de cada una de las variables x, y y z es la unidad positiva.
Ejemplo. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( —3, 2, 1)
y es perpendicular al plano 4x + 3y — 12 = 0.
Solución. Por el teorema 2 del Artículo 115, los números directores de la
recta son [4, 3, 0 ]. Por tanto, por el teorema 1 anterior, las ecuaciones de
la recta son
El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo. Debe demostrar también
que la recta es perpendicular al eje Z y que está en un plano paralelo al
plano XY.