geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

408 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
entonces f (x, y, z) es una función homogénea de grado m . Así,
para la función (4), tenemos
/ (kx, ky, fe) = ( kx)2 + 2{ky)2 — 3 ( fe ) 2
= ¿2(xs + 2?/2 + 3z2) = k2f(x , y, z),
de manera que la función es homogénea y de grado 2. E sta prueba se
presenta en algunos libros como definición de la homogeneidad de una
función.
A una función homogénea igualada a cero se le llama ecuación
homogénea. Sea / (x, y, z) = 0 una ecuación homogénea. Entonces,
de la discusión precedente, tenemos el hecho im portante de que, si
esta ecuación tiene la solución diferente de cero x = x i , y — y \ , z — zi,
también tiene las soluciones x — kxi, y = kyi, z = f e i , en donde k es
una constante cualquiera.
Consideremos ahora una superficie cónica de vértice en el origen y
cuya directriz sea la curva
f(x, y) = 0 , z = c, (5)
en donde c es una constante diferente de cero. Supongamos que la
generatriz que pasa por un punto cualquiera P(x, y, z) de la superficie
corta a la directriz en el punto P'(x' , y1, z'). Como esta generatriz
pasa por el erigen , sus ecuaciones son
x' — kx, y’ = ky, z’ = f e , (6)
en donde k es una constante diferente de cero. También, como P’ está
sobre la directriz (5), tenemos
f(x>,y') = 0 , z’ = c. (7)
De las últimas igualdades de las ecuaciones (6 ) y (7), se deduce que
k =» — , valor que sustituido en las dos primeras de las ecuacio-
z
C3/ CU
nes (6), da x' = — y y' = — . Si sustituimos estos valores de x’ y y’
z z
en la primera de las ecuaciones (7), obtenemos
como ecuación de la superficie cónica. Si reemplazamos en la ecuación
(8 ) x, y y z por k'x, k'y y k'z, respectivam ente, en que V es
una constante diferente de cero, la ecuación permanece invariable y ,
por ta n to , es homogénea. Hemos demostrado así que una superficie