geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

414 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Consideremos ahora el problem a recíproco , a sa b e r, dada la ecuación
de una superficie, determ inar si representa una superficie de
revolución . Si uno de los ejes coordenados es el eje de revolución , la
solución es com parativam ente sencilla, porque entonces las secciones
de la superficie por planos perpendiculares al eje son todas circunferencias
cuyos centros están sobre dicho e je . Se dice entonces que la
superficie se extiende a lo largo del eje.
Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación
9*2 + 9y2 - z2 = 9 (6)
representa una superficie de revolución. Hallar su
eje de revolución y las ecuaciones de la generatriz en
uno de los planos coordenados que contenga al eje.
Solución. Evidentemente, los planos z = k
cortan a la superficie (6) en las circunferencias
9*2 + 9y2 = 9 + fe2, z = k,
cuyos centros, para todos los valores de k, están
sobre el eje Z. Por tanto, la ecuación (6) representa
una superficie de revolución cuyo eje de revolución
es el eje Z. El eje Z está contenido en el
plano YZ, y la traza de la superficie (6) sobre
el plano es la generatriz
9y2 - z2 = 9, x =0, (7)
Evidentemente, la superficie (6) puede engendrarse haciendo girar la hipérbola
(7) en torno del eje Z . Una parte de esta superficie aparece en la figura
184; se le llama apropiadamente hiperboloide de revolución de una hoja.
EJERCICIO S. Grupo 64
1. Establecer el teorema 9 del Artículo 136 cuando la generatriz está en el
plano X Z y el eje de revolución es: a) el eje X; b) el eje Z,
2. Establecer el teorema 9 del Artículo 136, cuando la generatriz está en el
plano YZ y el eje de revolución es: a) el eje Y; b) el eje Z .
3. Deducir la ecuación de la superficie esférica de radio r que se obtiene
haciendo girar la circunferencia x 2 + y2 = r2, z = 0, en torno del eje X.
á. Deducir la ecuación de la superficie del cilindro circular recto de radio r
que se obtiene haciendo girar la recta x = 0, y = r, en torno del eje Z.
5. Deducir la ecuación de la superficie del cono circular recto que se obtiene
haciendo girar la recta l en torno del eje Z, sabiendo que / está contenida en el
plano Y Z , pasa por el origen y forma un ángulo agudo