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ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 113
En resumen, ninguna circunferencia de la familia (3) , excepto Ci, tiene un
punto en común con Ci o C2. Aun más, sea P4 un punto cualquiera que esté
sobre cualquier elemento de la familia (3), excepto sobre Ci. Acabamos de
demostrar que P4 no puede estar sobre C2. Por tanto, si se sustituyen las
coordenadas de P4 en las ecuaciones (1) y (2), los primeros miembros no se
reducirán a cero sino que tendrán valores diferentes a cero, digamos ki y ¿2.
respectivamente. Por lo tanto, si se sustituyen en (3) las coordenadas de Pit
la ecuación toma la forma
*! + H-2 = 0,
de donde k tiene el único valor — — , Esto significa que hay solamente una
■>2
circunferencia de la familia (3) que pasa por el punto P 4. Como Pt se eligió
como cualquier punto sobre cualquier elemento de (3) , excepto Cr, se deduce
que ningún par de circunferencias de la familia (3) tienen un punto en
común.
En los dos primeros casos considerados anteriormente, es decir, cuando
Ci y C2 tienen uno o dos puntos comunes, la ecuación (3) representa una circunferencia
real para todo valor de le, ya que por lo menos existe un punto del
lugar geométrico. Pero esto no ocurre cuando C\ y C2 no tienen ningún punto
común. Entonces no se puede asegurar que la ecuación (3) represente una circunferencia
real para todo valor de I:. Si Ci y C2 no tienen ningún punto
común es fácil encontrar ejemplos, en los que, para valores específicos de k, la
ecuación (3) no representa ninguna circunferencia real. (Ver el ejercicio 18 del
grupo 17.)
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas se
llama recta de los centros. Es muy sencillo demostrar que todas las circunferencias
de la familia (3) tienen su centro en la recta de los centros de Ci y C2. En
efecto, los centros de Ci y C2 son
_Di
h
2 ’ - 4 ‘) * ( - 2
pectivamente, y la ecuación de la recta que contiene a estos dos puntos es
2(£, - £ 2)* - 2(D, - Do) y + D 2E 1 - D ,£ s = 0,
la cual se satisface por las coordenadas ( ----D) 4- kD2 _ £1 + IE 2 \ ^ j
V 2(* + d 2(* + u ;
tro de cualquier circunferencia definida por (3) .
Todos los resultados precedentes se resum en en el siguiente
T eorema 4 . S i las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera
Ci y C 2 son
la ecuación
Ci : x2 + y 2 + D ix + E ,y + Fi = 0 ,
C 2 : x2 + y'2 + D 2 X + E sy + F 2 = 0 ,
x2 + y 2 + D ix + E iy + F i + k (x 2 + y 2 + D 2 X + E 2 y + F 2) = 0
representa una fam ilia de circunferencias todas las cuales tienen sus
centros en la recta de los centros de Ci y C 2 .