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216 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
El lector debe notar particularmente que la relación (5) es independiente
de 6 , el ángulo de rotación. Como la cantidad J52 — 4AC no
cambia de valor para ninguna rotación de los ejes coordenados, se
llama invariante y se dice que es invariante por rotación.
Cuando la ecuación (1 ) es transformada en la ecuación (4),
B ' = 0 , y la relación (5) se reduce a
B~ — 4AC = — 4A/C/. (6)
Si uno cualquiera de los coeficientes A ' o C ' es ig u ala cero, la
ecuación (4) y , por tanto, la (1), es del género parábola. En este
caso, la relación (6 ) muestra que B 2 — 4AC = 0.
Si A ' y C son del mismo signo, la ecuación (4) y , en consecuencia,
la (1), es del género elipse. E n este caso, la relación (6)
m uestra que B2 — 4AC < 0.
Si A ' y C ' difieren en el signo, la ecuación (4) y , en consecuencia
la (1), es del género hipérbola. En este caso , la relación (6)
muestra que B 2 — 4AC > 0.
Como la expresión B 2 — 4AC indica la naturaleza del lugar geométrico
de la ecuación (1), llamaremos indicador * a este invariante.
Denotaremos el indicador por la letra mayúscula I , es d ecir,
/ = B 2 - 4AC.
Los resultados precedentes se pueden resumir en el siguiente
teorema :
T e o r e m a 3 . La ecuación general de segundo grado ,
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ,
representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según que
el indicador, I = B 2 — 4A.C , sea cero , negativo o positivo.
Ejemplo. Determinar la naturaleza del lugar geométrico de la ecuación
í x s + 4*y + 2y2 - 24* - 12y + 29 = 0. (7)
Reducir la ecuación a su forma canónica por transformación de coordenadas.
Trazar «1 lugar geométrico y todos los sistemas de coordenadas que hayan sido
necesarios.
Solución. Para la ecuación (7) , el indicador es
/ = B- - 4AC = 42 - 4 . 5 ■ 2 = - 24.
Como I < 0, la ecuación (7) es del género elipse.
* N DEL T . Muchos autores llaman discriminante a esta expresión,