geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

88 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
La expresión que está dentro de barras en el segundo miembro de (4)
es el valor absoluto del desarrollo del determinante
Xl
Xl
x¡
y i
(Véase nota 2 del teorema 3 , Art. 27.) En consecuencia, tenem os:
T eo rem a 12. El área del triángulo que tiene por vértices los puntos
(xi, yi), (x2, y2) y (xa, ya) es
X!
X2
x3
debiendo tomarse el valor absoluto del determinante.
Si tres puntos diferentes son colineales, pueden ser considerados
como los vértices de un triángulo cuya área es cero. Por tanto , por
el teorema 12, si los tres puntos diferentes {xi, yi), (xt, y¿), (X3, ys)
son colineales, entonces K = 0 y
Xl
X2
X3
y i
2 /2
2/3
yi
y*
ys
= 0 . (5)
Recíprocam ente, sí (5) es verdadera, K = 0 en el teorema 12,
y los tres puntos son colineales.
En consecuencia , tenemos :
C orolario . Una condición necesaria y suficiente para que tres
puntos diferentes de coordenadas (xi, yi), (xa, ys), (x3 , y3) sean
colineales es que
Xi yi 1
x2 y 2 1 = 0.
xj yj 1 i
35. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de
determinante. En la nota 2 del teorema 3 , Artículo 27, obtuvimos la
ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, en forma de
determ inante. Ahora deduciremos esta forma por otro método que
es im portante porque puede usarse para obtener en forma de determinante
las ecuaciones de otras figuras geom étricas.
Tomemos para ecuación de la recta que pasa por los dos puntos
dados P i (xi, 2/1 ) y Pi (*2 , 2/2 ) la
A x + By + C = 0. ( 1 )