geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

352 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Un resumen de los resultados anteriores viene dado en el siguiente
T e o r e m a 6 . Dados dos planos
Ax + B y + Cz -f D = 0 y A'x + B 'y + C'z + D ' = 0 ,
son condiciones necesarias y suficientes para
a) Paralelismo, que A = k A ', B = k B ', C = k C ', (k ^ 0) ;
b) Perpendicularidad, que A A' + BB' + CC' = 0 ;
c) Coincidencia, que A = k A ', B = k B ', C = kC; , D = kD 7,
(k*0).
NOTA. El estudiante debe comparar este teorema con el teorema 6 del A rtículo
30.
Ahora estamos en posibilidad de considerar los casos especiales de
la forma general de la ecuación de un plano ,
A x + B y + Cz + D - 0 , (1)
en la que u n o , por lo m enos, de los coeficientes A , B y C es diferente
de cero.
Consideremos primero el caso en que (7 = 0 , de manera que la
ecuación (1 ) toma la forma especial
A x + By + D = 0. (10)
Los números directores de la normal al plano (10) son [ A , B , 0 ],
Los números directores del eje z son [ 0 , 0 , 1 ], y el eje z es normal
al plano X Y . El plano (10) y el plano X Y satisfacen la condición de
perpendicularidad dada en el apartado (b) del teorema 6 , ya que
A (0 ) + B ( 0 ) + 0 ( 1 ) = 0.
Análogamente, podemos demostrar que los planos A x + Cz + D = 0
y By + Cz + D = 0 son perpendiculares a los planos X Z y Y Z , respectivamente
. Se desprende en cada caso , también , que el plano es
paralelo al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable que no
aparece en la ecuación. Este resultado se expresa mediante el siguiente
T e o r e m a 7 . Una ecuación lineal que contiene únicamente dos variables
representa un plano perpendicular al plano coordenado de esas dos
variables, y es paralelo al eje coordenado a lo largo del cuál se mide la variable
que no aparece en la ecuación, y recíprocamente.
NOTA. Por lo estudiado en la Geometría analítica plana, el lector puede
pensar que la ecuación (10) representa una línea recta. Debe observar, sin