geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA LINEA RECTA 67
partir de una condición independiente. Por tanto , analíticamente, la
ecuación de una recta queda 'perfectamente determinada por dos condiciones
independientes. Geom étricam ente, una recta tam bién queda
determinada por dos condiciones independientes ; luego una recta está
completamente determinada si se conocen dos de sus p u n to s, o uno de
sus puntos y su dirección.
Ejem plo. Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación
general Ax + By + C = 0 de una recta, para que pase por los dos puntos
(—1, 4) y (3, —2). De ahí hallar la ecuación de la recta.
Solución. Como los dos puntos están sobre la recta, sus coordenadas deben
satisfacer la ecuación de dicha recta (Art. 14). Por tanto, para el punto
( — 1,4), tenemos:
- A + 4 B + C = 0; (3)
y para el punto (3, — 2) tenemos
3A — 2B + C = 0. (4)
Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) para A y B en términos de C, obtenemos
A = - YiC, B = - %C.
Si sustituimos estos valores de A y £ en la forma general, obtenemos
- %Cx - %Cy + C = 0.
Dividiendo toda la ecuación por C y simplificando, obtenemos como ecuación
de la recta
3x + 2y — 5 = 0 ,
cuyos coeficientes son A = 3, B — 2, C = — 5.
NOTA. Si C = 0, el problema no puede resolverse tal como se ha hecho.
En este caso podemos resolver (3) y (4) para A y C en términos de B si
B pí 0, o para B y C en términos de A si A 0.
30. Posiciones relativas de dos rectas. Ahora consideraremos las
posiciones relativas de dos rectas, cuyas ecuaciones pueden ponerse en
las formas generales :
A x + By + C = 0 , (1)
A 'x + B 'y + C ' = 0. (2)
En p articu lar, determinaremos las condiciones analíticas bajo las cuales
estas dos rectas son : a) paralelas; b) perpendiculares; c) coinciden
; d) se cortan en uno y solamente en un p u n to .
A
a) La pendiente de (1) es — -g si B 0 , y la pendiente de (2)
A '
es — si B ' ^ 0 . Por el corolario 1 al teorema 5 , Artículo 10,