geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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426 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO geom étricos representados por e lla . Se puede hacer un estudio semejante de la ecuafción (1 ) y una clasificación de sus lugares geom étricos, p e ro , ev id en tem en te, para tres variables la discusión es m ucho m ás larga y com plicada. Se dem uestra en tratados avanzados que m ediante una transform ación apropiada de coordenadas, se puede transform ar la ecuación (1 ) de m anera que tom e una de las dos form as tipo : (I) (II) M x 2 + N y 2 + P z 2 = R M x 2 + N y 2 = S z. Las superficies del tipo ( I ) tienen un centro de sim e tría , el origen , y por esto se llam an cuádricas con centro. Las superficies del tipo (II) no tienen centro de sim etría y se lla m a n , por lo ta n to , cuádricas sin centro. E n la página siguiente se da, en form a de tabla, una clasificación de las superficies representadas por ecuaciones de los tipos ( I ) y (II). La naturaleza de estas superficies d ep en d erá, n a tu ra lm e n te , de los coeficientes, de los cuales uno o m ás pueden ser cero . D ebe observarse , sin em b arg o , que el núm ero de tales coeficientes nulos es limitado , p o rq u e , como hemos anotado previam ente ( n o ta 2 del teorem a 1 1 , A rt. 1 3 8 ), el grado de una ecuación no se altera por una transform ación de coordenadas en el espacio. Por una simple observación de estas dos tab las vemos que , si uno o m ás coeficientes son cero , el lugar geom étrico, si e x iste , está entre las superficies que hemos estudiado p rev iam en te. E stos lugares geom étricos incluyen las superficies del cilindro y cono rectos y a ciertas form as degeneradas que constan de dos planos d iferen tes, dos planos coincidentes (o un solo p la n o ), dos planos que se c o rta n , una sola recta (una form a lím ite de un cilindro) , y un p u n to . Si ningún coeficiente es c e ro , las tablas m uestran que el lugar geométrico , si e x iste, es una superficie de la cual no hem os discutido anteriorm ente ningún d e ta lle . E stas superficies son las tres cuádricas con centro : el elipsoide y los hiperboloides de una y dos h o ja s , y las dos euádricas no c e n tra le s: los paraboloides elíptico e hiperbólico. 140. Cuádricas con centro. Vamos a considerar ahora las cuádricas con centro , representadas por la ecuación M x ¿ + Ny'¿ + Pz2 = R , en donde todos los coeficientes son diferentes de cero. Podem os entonces escribir esta ecuación en la form a U)
SUPERFICIES 427 Clasificación de las cuádricas TIPO (I) . Mx2 + Ny2 + Pz2 = R CO EFIC IEN TES R* M, N, P > 0 = 0 Todos positivos Todos negativos Dos positivos, uno negativo Uno positivo, dos negativos Uno cero, dos positivos Uno cero, dos negativos Uno cero, uno positivo, uno negativo Dos cero, uno positivo Dos cero, uno negativo Todos del mismo signo Dos positivos, uno negativo Uno cero, dos del mismo signo Uno cero, dos de signos contrarios Dos cero LUGAR GEOMETRICO Elipsoide Ningún lugar geométrico Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cilindro elíptico (o circular) recto Ningún lugar geométrico Cilindro hiperbólico recto Dos planos paralelos diferentes Ningún lugar geométrico Un solo punto, el origen Cono recto Todos los puntos sobre un eje coordenado Dos planos que se cortan Un plano coordenado (dos planos coincidentes) . * Cuando R < 0, se invierten los signos de los coeficientes M, N y P; los lugares geométricos correspondientes estarán dados entonces como para R > 0. CO EFIC IEN TES S** M, N TIPO (II). Mx2 + Ny2 = Sz LUGAR GEOMETRICO Del mismo signo Paraboloide elíptico > 0 Signos opuestos Paraboloide hiperbólico Uno cero Cilindro parabólico recto Del mismo signo Todos los puntos sobre un eje coordenado = 0 Signos opuestos Dos planos que se cortan Uno cero Un plano coordenado (dos planos coincidentes) ** Cuando S < 0, se invierten los signos de los coeficientes M y N; los lugares geométricos correspondientes estarán dados entonces como para S > 0.
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