geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

268 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Ejemplo. Haciendo variar el parámetro, trazar la curva cuyas ecuaciones
paramétricas son
x = tí — sen y = 1 — eos 8. (1)
Hallar también la ecuación rectangular de la curva.
Solución. El parámetro 9, que aparece como un término aislado en la primera
ecuación, debe tomarse en radianes (Apéndice IC, 4) . Así, si se le asigna
a 6 el valor — tiene el valor 0,7854 y no 45°. Para calcular los valores de
4
x y y, será conveniente, por lo tanto, asignar valores a 8 en función de a,
(ver la tabla del final de la página). Para valores de 8 mayores de 2n radianes,
y para valores negativos de 8,
la curva repite su forma a derecha e
izquierda, respectivamente, del
eje Y. El lugar geométrico (fig. 125)
se llama cicloide. La porción de curva
comprendida entre dos cualesquiera
de sus intersecciones sucesivas
con el eje X se llama arco de la
cicloide. Por la importancia que
tiene esta curva, deduciremos sus
ecuaciones paramétricas y posteriormente (Art. 93) la discutiremos.
Para obtener la ecuación rectangular de la cicloide, procedemos como sigue.
A partir de la segunda, y más sencilla, de las ecuaciones paramétricas (1),
tenemos
eos 8 = 1 — y,
de donde,
= are eos (1 — y)
= ± V i - (i - y)‘ = ± 2y — y2 .
Si sustituimos estos valores de 8 y sen 8 en
obtenemos la ecuación rectangular buscada,
x = are eos (1 — y) =f V 2y — y2 ,
a primera de las ecuaciones (1) ,
en donde se debe tomar el signo positivo o el negativo según que
(2)
sea menor o
8 sen 8 eos 8 * y
prendido entre
6 = 0 y 8 = 2 ji.
0 0 1 0 0
jt/6 0,5 0,87 0,02 0,13 Si 8 = jt, la segunda de las ecuacio­
Jt/4 0,71 0,71 0,08 0,29 nes (1) muestra que y = 2, en cuyo
n/3 0,87 0,5 0,18 0,5 caso el radical se anula.
jt/2 1 0 0,57 1 El estudiante debe trazar la ci­
3 jt/4 0,71 - 0,71 1,65 1,71 cloide a partir de su ecuación rectann
0 - 1 3,14 2 gular (2) y comparar el trabajo con
5ji/4 - 0,71 - 0,71 4,63 1,71 el de obtener la gráfica partiendo de
3 rc/2 - 1 0 5,71 1 las ecuaciones paramétricas (1) .
7 jt/4 - 0,71 0,71 6,20 0,29 Verá entonces las ventajas que, para
2 j í 0 1 6,28 0 esta curva, tiene la representación
paramétrica sobre la rectangular.