geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Además, como P' está sobre la elipse (1), tenemos
SUPERFICIES 407
4 x !2 _|_ z /2 = 1 ( y ' = 4 . ( 3 )
De las cuatro relaciones dadas por las ecuaciones (2) y (3) , podemos eliminar
las tres cantidades x', y' y z \ considerándolas como parámetros. Esta eliminación
puede efectuarse convenientemente sustituyendo primero el valor y' = 4
de las ecuaciones (3) en las ecuaciones (2) . Después, de estas últimas ecuacio-
Fig. 180
nes se despeja x' en función de x y y, y z' en función de y y z, y se sustituyen
los resultados en la primera de las ecuaciones (3). Después de ordenar los
términos, resulta
36x2 + 12c/2 + 9z2 + 24xy + 18yz - 96* - 102y - 72z + 207 = 0,
que es la ecuación buscada de la superficie.
El estudiante debe observar que una superficie cónica puede construirse trazando
las generatrices, o sea, las rectas que unen el vértice con puntos de la
directriz.
E n el estudio de una superficie cónica, no se pierde generalidad
tomando el vértice en el origen. Vamos a demostrar ahora que la
ecuación de una superficie tal es homogénea en las tres variables
x , y y z.
Se dice que un polinomio algebraico, en dos o más variables, es
homogéneo, si todos sus términos son del mismo grado. Así, la función
/(*. y , z ) = z 2 + 2?y2 - 3z2 (4)
es homogénea y de segundo grado.
H ay una prueba sencilla para averiguar la homogeneidad de una fu n ­
ción. Si la función es f ( x , y , z ) , consiste en sustituir las variables
x % V Y z P°r f;x i ky y k z , respectivam ente, en donde k es una constante
diferente de cero. Si obtenemos la identidad
/ {kx, hy , kz) = km f (x , y , z) ,