geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

322 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
extremos P i y P 2 de un segmento , entonces la proyección P 1 P 2 sobre
ese plano (o recta) es el segmento Pi’Pz'.
Consideremos (fig. 156) dos puntos dados cualesquiera en el espacio
P i(x 1, yi, si) y Pí(xi, 2/2} Zz). Vamos a determinar la distancia
d = | Pi P 2 | . Por cada uno de los puntos P i y P 2 hagamos pasar
planos paralelos a los tres planos coordenados. Estos planos forman
un paralelepípedo recto rectangular que tiene a P 1 Pi por diagonal y
a P 1V1 , PiVi y P 1V3 por aristas. Estos planos dan también las
proyecciones ortogonales de Pi y P 2 sobre los planos y ejes coordenados.
A sí, P' 1 y P ’2 son las proyecciones ortogonales respectivas
X
Z
Fig. 156
de Pi y P 2 sobre el plano X Y , y P' 1 P ' 2 es la proyección P 1P 2 sobre
el plano X Y . También A i , Bi y C1 son las proyecciones ortogonales
respectivas de P i sobre los ejes X , Y y Z , y , B2 , C2 son
las proyecciones respectivas de P 2 sobre los ejes X , Y y Z. Para
simplificar la figura , algunas de las proyecciones y líneas proyectantes
se han om itido.
Es muy sencillo demostrar, mediante una doble aplicación del
teorema de Pitágoras, que el cuadrado de la longitud de la diagonal
de un paralelepípedo recto rectangular es igual a la suma de los cuadrados
de las longitudes de sus aristas. Por tanto , podemos escribir
d 2 = P 1P 22 = P i V\ + p T f? + P i F 3'2. (1 )
E videntem ente, por la definición de las coordenadas de un punto
en el espacio, las coordenadas de Ai y A 2 son (®i, 0, 0) y
Y