geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 391
E n el Artículo 16 dimos las definiciones para la simetría de una
curva con respecto a una recta y con respecto a un p u n to . E stas definiciones
no cambian cuando la palabra ‘ ‘ curva ’ ’ es reemplazada por
la palabra ‘ ‘ superficie ’ ’. Queda por defininir la simetría con respecto
a un p lan o .
D efin ició n . Se dice que dos puntos diferentes son simétricos con
respecto a un plano si y solamente si el plano es perpendicular al segmento
que los une en su punto m edio.
Así, los puntos Pi y P 2 (fig. 173) son simétricos con respecto al
plano 8 siempre que el plano sea perpendicular
al segmento P 1P 2 en su punto m edio. El
plano 8 se llama plano de simetría.
D e f in ic ió n . Se dice que una superficie
es simétrica con respecto a un plano de simetría
5 si el simétrico de cada punto de la superficie
, respecto al plano 8 , es también un
punto de la superficie.
Las pruebas para determ inar la simetría de
una superficie a partir de su ecuación pueden
obtenerse por los mismos métodos empleados para deducir las pruebas
análogas para las curvas planas (A rt. 16). De acuerdo con e sto , el
estudiante debe verificar los resultados dados en la siguiente ta b la .
Si la ecuación de la superficie
no se altera cuando las variables
x, y y z son reemplazadas
por
La superficie
es simétrica
con
respecto al
— x, y, z plano Y Z
x, — y, z plano X Z
x, y, - z plano X Y
- x, - y, z eje Z
— x, y, — z eje Y
x, — y, — z eje X
— x, — y, — z origen
Los tres siguientes teoremas constituyen un resumen de estos resultados
.
T eorem a 1 . S i la ecuación de una superficie no se altera cuando se
cambia el signo de una de las variables, la superficie es simétrica con
respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y
recíprocamente.