geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 393
Ejemplo 1. Discutir la superficie cuya ecuación es
x2 + y2 - 4z = 0. (1)
Construir la superficie.
Solución. 1. Intercepciones■ Las únicas intercepciones con los ejes coordenados
están dadas por el origen.
2. Trazas. La traza sobre el plano X Y es un solo punto, el origen. La
traza sobre el plano X Z es la parábola x2 = 4z, y = 0. La traza sobre el plano
Y Z es la parábola y2 = 4z, x = 0.
3. Simetría. La superficie es simétrica con respecto al plano YZ, al plano
X Z y al eje Z.
4. Secciones. Los planos z — k cortan a la superficie (5) en las curvas
x2 + y2 = 4á, z = k,
que constituye una familia de circunferencias, para todos los valores de k > 0.
Los planos y = k cortan a la superficie (1) en las parábolas
x2 = 4 ^z — y = k;
y los planos x = k cortan a la superficie (1) en las parábolas
y2 = 4 ( z - t ) ’ * - k-
5'. Extensión. La ecuación (1) muestra que las variables x y y pueden
tomar todos los valores reales, pero la variable z está restringida a valores positivos.
Por tanto, ninguna parte de la superficie aparece abajo del plano XY,
sino que se extiende indefinidamente hacia arriba del plano XY.
En la figura 174 se ha trazado una parte de la superficie. Todas las secciones
paralelas al plano X Y son circunferencias cuyo radio crece a medida que se alejan
del plano X Y . La parte que está en el
primer octante aparece en línea gruesa.
Esta superficie se llama paraboloide de
revolución.
Ejemplo 2. Discutir la superficie
cuya ecuación es
Construir la superficie.
x2 + z - 2 = 0. (2)
Solución. 1. Intercepciones. Las
intercepciones con el eje X son ± V 2 .
Con el eje y no hay intercepción. La
intercepción con el eje Z es 2.
2. Trazas. Las trazas sobre el pla­
no X Y son las rectas x = \ / 2 , z = 0 ,
y x = — ’V 2 , z = 0. La traza sobre
el plano X Z es la parábola x2 = — (z — 2), y = 0. La traza sobre el plano
y Z es la recta z = 2, x = 0.