geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

188 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
A nálogam ente, tenemos
a2 yi _ yi
o ______ b~ xi x\ + c _ a2 xi y\ -4- a2 cyi — b2 xi y\
S ( ( 2/i \ ~ 52 Xl* + b‘CXl + a^ l2
^ \ b 2 x j \ x\ + c /
_ Xí yx (a2 — b2) + a~ cy 1 _ c2 x\ y 1 + aa cyi
a2 b2 + b2 cxi £>2 (a2 + cx¡)
_ cyi (cxi + a2) _ £2/i
62(cxi + a2) — í)2 '
P or tan to , como tg a = tg (3, a = (3 .
Aplicando la ley de la reflexión (Art. 59), el teorem a 6 es ev id en te.
E n efecto , consideremos una superficie de reflexión que tenga como
sección recta una elipse ; supongam os que se coloca un foco luminoso
en el foco F de la elip se, y que un rayo incide sobre la elipse en el
punto P i . Entonces este rayo será reflejado de ta l m anera que el
áDgulo de reflexión (3 sea igual al ángulo de incidencia a . Pero , por
el teorem a 6 , tal rayo reflejado pasará por el otro foco F ' . Luego los
rayos de un foco luminoso colocado en un foco de la elipse al incidir
sobre la curva se reflejan de m anera que pasan por el otro foco. Como
las ondas sonoras se reflejan como las luminosas, los sonidos originados
en uno de los focos pueden ser oídos claram ente en el otro foco y ser
inaudibles en los puntos interm edios. E ste es el principio en que se
basa la construcción de las cám aras secretas.
Vamos a m encionar brevem ente algunas otras aplicaciones de la
elipse. Los arcos usados en la construcción tienen , frecu en tem en te,
la forma de arcos elípticos. E n ciertos tipos de m áquinas se usan
engranes elípticos. Algunas partes estructurales de m etal se construyen
de sección recta e líp tic a . Es tam bién interesante n o tar que los
planetas en su recorrido alrededor del Sol se m ueven en órbitas elípticas
en las cuales el Sol ocupa uno de los focos.
EJERCICIOS. Grupo 29
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Demostrar el teorema 4 del Artículo 63.
2. Demostrar el teorema 5 del Artículo 63.
3. Demostrar el siguiente teorema como corolario al teorema 4 del A rtículo
63: La ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = a2 en cualquier
punto P i(xi, yi) es x \x + yi y = a2■ (Véase el ejercicio 10 del grupo 18,
Artículo 45.)