geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES 245
2. Sim etría. Si la curva es sim étrica con respecto al eje p o la r,
entonces (A rt. 16) p ara cada punto P existe un punto P ' , tam bién
de la curv a , tal que el segm ento P P ' es bisecado perpendicularm ente
por el eje p o la r, como se ve en
la figura 113. Si M es el punto
medio del segm ento P P ' , de los
triángulos rectángulos O P M y
OP'M se deduce que las coordenadas
de P' son ( r , — 6 ) y
(—r, n — 6 ). T enem os, p u es,
dos pruebas p ara sim etría con
respecto al eje p o la r, a s a b e r,
que la ecuación polar dada no
varíe al reem plazar 6 por — 6 ,
o al reem plazar 6 por jt — 9 y
r por — r . D ebem o s, sin em ­
bargo , hacer una im portante adición a este enunciado. A sí, una circunferencia
con centro en el polo y radio igual a a tiene por ecuación
polar r = a. E sta ecuación no satisface la segunda prueba aunque su
lugar geom étrico e s , evidentem ente, sim étrico con respecto al eje
p o la r. Pero la segunda prueba cam bia a la ecuación dada en r — — a,
q u e , como hem os anotado a n te s , es una ecuación equivalente. Por
ta n to , diremos que la sim etría con respecto al eje polar existe tam bién
si las sustituciones indicadas cam bian a la ecuación dada en una ecua -
ción equiv alen te.
Se deja al e stu d ia n te , como ejercicio, el obtener las pruebas para
sim etría con respecto al eje a 90° y respecto el p o lo , que establece el
siguiente
T eorem a 2 . Las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico
de una ecuación polar están dadas en la siguiente tabla.
Simetría con respecto al La ecuación polar no se altera, o se transforma en
una ecuación equivalente cuando
Eje polar a) se sustituye 0 por — 6, o
b) se sustituye 8 por n — 6 y r por — r.
Eje a 90° a) se sustituye 8 por n — 8, o
b) se sustituye 8 por — 8 y r por — r.
Polo a) se sustituye 8 por jt + 8, o
b) se sustituye r por — r.