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324 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
problema análogo en el plano, que se ha estudiado en el teorema 3 del
Artículo 7.
T e o r e m a 2. Si Pi(xi, yi, zi) y P2 (x2 , y 2 , zd son los extremos
de un segmento dirigido P1 P2 , las coordenadas (x, y, z) de un punto
P que divide a este segmento en la razón r = Pi P : PP2 son
x =
xi + rx2
1 + r !
y =
yi + ry2
1 + r
zi + rz2
1 + r :
D e m o s t r a c ió n . Sean P 'i, P 1 y P '2 (fig. 157) las proyecciones
respectivas de los puntos P i, P y Pi sobre el plano X Y , y A i , A
y Ai sobre el eje X . Las rectas proyectantes P 1P 1' , PP' y P¿ P'-¿
son paralelas y están todas en el mismo plano ; por tanto , por Geometría
elem ental, estas rectas interceptan segmentos proporcionales
sobre las dos transversales Pi Pi y P ' i P ' i , y tenemos
r =
P iP P ' i P 1
Análogamente, considerando las rectas paralelas A iP \ , A P ' y ^ 2P ;2 ,
tenemos
P 'P ’t A A 2
D e las relaciones (1 ) y (2), resulta
Ai A x — xi
x — Xi
r —
X2 — X
X2
( 1)
(2)