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346 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
D e f i n i c i o n e s . Llamaremos intercepción de una superficie sobre
un eje coordenado a la coordenada correspondiente del punto de intersección
de la superficie y el eje coordenado .
La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la curva
de intersección de la superficie y el plano coordenado.
Vamos a ver ahora cómo se obtienen las intercepciones y trazas
de cualquier plano a partir de su ecuación. La intersección de un
plano y el eje X es un punto que está sobre el eje X . Ambas coordenadas
y y z de tal punto son cero. Por ta n to , haciendo y = z — 0
en la ecuación ( 1 ) y despejando x , hallamos la intercepción de este
plano sobre el eje X que es —■ ~ -. Análogamente, las intercepciones
sobre los ejes Y y Z son — — y — ~ , respectivam ente.
La intersección de un plano y el plano X Y es una recta que está
en el plano X Y . La coordenada z de cualquier punto del plano X Y
es igual a cero. Por tanto , haciendo z = 0 en la ecuación (1), obtenemos
la ecuación
Ax By D = 0.
Esta ecuación so la , sin em bargo, no es suficiente para identificar la
traza del plano (1 ) sobre el plano X Y . Debemos indicar también
que la traza está sobre el plano X Y empleando la ecuación 2 = 0 .
Por ta n to , la traza del plano ( 1 ) sobre el plano X Y está representada
analíticamente por las dos ecuaciones
Ax + By D = 0, 2 = 0.
Tenemos aquí el primer ejemplo del hecho de que una curva en el espacio
se representa analíticamente por dos ecuaciones independientes.
Análogam ente, haciendo y = 0 en la ecuación (1), hallamos que las
ecuaciones de la traza del plano (1 ) sobre el plano X Z son
Ax + Cz + D = 0 , y = 0 ;
y , haciendo x = 0 en la ecuación ( 1 ) , hallamos que las ecuaciones
de la traza sobre el plano Y Z , son
By -f- Cz -f- D = 0 , x = 0.
Ejemplo 2. La ecuación de un plano es
4x + 6y + 3z — 12 = 0. (4)
Hallar sus intercepciones con los ejes coordenados y las ecuaciones de sus trazas
sobre los planos coordenados. Construir la figura.