geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 399
12. Demostrar que para todos los valores de k diferentes de — 1, la ecuación
.Si + kS2 = 0 representa la familia de esferas que pasan por la intersección
de las esferas Si = 0 y = 0, con excepción de la esfera S2 = 0.
13. Si las esfsras Si = 0 y S2 = 0, no son concéntricas, demuéstrese que la
ecuación Si + kS2 = 0 representa un plano para k = — 1. Este plano se llama
plano radical de las dos esferas.
14. Si las esferas Si = 0 y S2 = 0 son tangentes entre sí, demuéstrese que
para todos los valores de k diferentes de — 1, la ecuación Si + kS2 = 0 representa
a todas las esferas que son tangentes a las dos dadas en su punto común,
con excepción de la esfera S2 = 0.
15. Demostrar que el plano radical de dos esferas tangentes es su plano tangente
común.
16. Si de las tres esferas, Si = 0, S2 = 0, S3 = 0, no hay dos que sean
concéntricas, y si no tienen una línea de centros común, demuéstrese que sus
tres planos radicales se cortan en una recta común. Esta recta se llama eje radical
de las tres esferas.
17. Si los centros de cuatro esferas no son coplanares, y si de las cuatro
esferas no hay dos que sean concéntricas, demuéstrese que sus planos radicales se
cortan en un punto común. Este punto se llama centro radical de las esferas.
18. Hallar la ecuación del plano radical de las dos esferas
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y — 62 + 10 = 0
y x2 + y2 + z'- + Sx — 2y -f- 4z + 12 = 0.
19. Hallar las ecuaciones del eje radical de las tres esferas
x2 + y2 + z2 - 2x - Iz + 1 = 0,
x2 + y2 + z2 — 8x — 4y — 6z + 25 = 0,
y x2 + y2 + z2 + 6x + 2y + 6z + 18 = 0.
20. Hallar las coordenadas del centro radical de las cuatro esferas
+ y* + z 2 = 4, x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 13 = 0,
x2 + y2 + z2 + 4x + 4y - 4z + 11 = 0
y x2 + u2 + z2 — 4x — 6y — 8z + 25 = 0.
21. Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia
de intersección de las dos superficies esféricas
x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z + 2 = 0
y x2 + y2 + z2 — 4x — 2y — 6z + 10 = 0,
y que también pasa por el punto (— 2, 4, 0) .
22. Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia
de intersección de las superficies esféricas
x2 + y2 + z2 — 4x — 8y + 6z + 12 = 0
y x2 + y2 + z2 — 4x + 4y — 6z — 12 = 0,
y es tangente al plano x + 2y — 2z = 3. (Dos soluciones.)
23. Eliminando los parámetros 6 y 0 , demostrar que
x = r sen eos 8, y — r sen sen 6, z = r eos
son las ecuaciones paramétricas de la superficie esférica x2 + y2 + z2 = r2