geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

106 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
41. Determinación de una circunferencia su jeta a tres condiciones
dadas. E n la ecuación ordinaria de la circunferencia (Art. 39),
(x — h)2 + (y — ky = r-, (1)
hay tres constantes arbitrarias independientes, h , k y r . D e m anera
sem ejante, en la ecuación general (A rt. 40),
x- + y- + Dx + E y + F = 0 , (2)
hay tres constantes arbitrarias independientes , D , E y F . Como la
ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de las
dos form as (1 ) o (2), la ecuación de cualquier circunferencia p a rticular
puede obtenerse determ inando los valores de tres constan tes.
E sto requiere tres ecuaciones in d ependientes, que pueden obtenerse a
p a rtir de tres condiciones independientes. P or tanto, analíticamente,
la ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres
condiciones independientes. G eom étricam ente, u n a circunferencia
q u e d a , ta m b ié n , perfectam ente determ inada por tres condiciones
in d ependientes; a s í , por ejem p lo , queda determ inada por tres cualesquiera
de sus p u n to s. E l estudiante debe com parar estas observaciones
con la discusión análoga que sobre la recta dimos en el A rtículo
29. V em os, por lo tanto , que adem ás del m étodo estudiado en el
Artículo 39 tenem os ahora otro m étodo para determ inar la ecuación
de una circunferencia.
Ejemplo 1. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia
que pasa por los tres puntos A ( — 1, 1), B (3, 5) y C(5, — 3) .
Solución. Este problema es idéntico al ejemplo dado en el Artículo 39.
Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general,
x2 + y2 + Dx + E q + F = 0, (2)
en donde las constantes D, E y F deben ser determinadas.
Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus coordenadas
deben satisfacer la ecuación (2) . De acuerdo con esto, tenemos las tres ecuaciones
siguientes correspondiendo a los puntos dados:
( (-1,1), 1 + 1 — D + E + F = 0,
J (3,5), 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0,
1 (5,-3), 25 + 9 + 50 — 3E + F = 0,
que pueden escribirse más abreviaiamente así:
D - E - / = 2,
3D + 5£ + F = - 34,
5D - 3£ + F = - 34.