geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACIONES PARAMETRICAS 275
Una epicicloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo
cualquiera de una circunferencia que rueda exteriormente, sin resbalar,
sobre una circunferencia fija. Deduciremos las ecuaciones param étricas
de la epicicloide en el caso en que la circunferencia fija tenga su
centro en el origen y una posición del punto que describe la curva está
sobre la parte positiva del eje X y sóbrela circunferencia fija. Sea
P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico ; sean a y 6 , respectivamente
, los radios de las circunferencias fija y ro d ante, y sea
C el centro de la circunferencia rodante o generatriz, como se ve en la
figura 130. Tomaremos como parám etro el ángulo 6 que forma la recta
de los centros OC con la parte positiva del eje X . Sea A el punto
sobre el eje X que representa la posición inicial del punto P que describe
la cu rv a, y sea B el punto de tangencia de las dos circunferencias.
Desde C y P bajemos las perpendiculares CD y P E , respectivam
ente , al eje X , y tracemos PF perpendicular a CD. Llamemos
$ al ángulo OCP y (3 al ángulo P C F . Consideraremos ambos ángulos
y d medidos en radianes.
Como la circunferencia generatriz ru ed a, sin resbalar, de A a B ,
tenemos
o se a ,
arco AB = arco PB ,
ad = b4>.
Por tanto , = -|- 0 y e + < t> = 6 + ~ 6 = ° ^ ^ 0 . Tenemos,
tam b ién ,
Por ta n to ,
y
[3 = — ángulo OCD = 4> (
sen (3 = sen + 4> — = — sen
eos (3 = eos
- « ) ■ « + ♦ - f .
- [e +
= — eos (9 + ) = — eos 6 ,
O
= c° s ( y - 1 0 +] ^
= sen (6 +