geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA ELIPSE 177
Consideremos ahora el caso en que el centro de la elipse está en el
origen, pero su eje focal coincide con el eje Y . Las coordenadas de
los focos son entonces (0 , c) y (0 , — c ) . E n este caso , por el mismo
procedim iento empleado para deducir la ecuación (5), hallam os que
la ecuación de la elipse es
Í + S = 1 >
en donde a es la longitud del semieje m a y o r, b la longitud del semieje
m enor, y a 2 = b2 + c2, L a discusión com pleta de la ecuación (11) se
deja al estudiante como ejercicio.
Las ecuaciones (5 ) y (11) se llam an , generalm ente, primera
ecuación ordinaria de la elipse. Son las ecuaciones m ás simples de la
elipse y , por ta n to , nos referirem os a ellas como a las form as canónicas
.
Los resultados anteriores se pueden resum ir en el siguiente
T e o r e m a 1 . La ecuación de una elipse de centro en el origen , ejí
focal el eje X , distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual
a 2a es
- + £ = 1
° 2 b 2 •
S i el eje focal de la elipse coincide con el eje Y , de manera que las
coordenadas de los focos sean (0, c ) y (0, — c ) , la ecuación de la
elipse es
y2 y2
— + — = 1
b 2 T a 2
Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje
m enor, y a , b y c están ligados por la relación
a 2 = b2 + c2.
2b2
También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es ----- y la
Qj
excentricidad e está dada por la fórm ula
c V a ’ - b !
e = — = ---------------- < 1.
a a
NOTA. Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos
determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando
los denominadores de los términos en x" y y2. El denominador mayor
está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide
el eje mayor de la elipse.