geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

122 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Si C es una curva cualquiera diferente de una línea re c ta , el valor
de mH varía a m edida que Pt se aproxim a a P i . Definiéndose la
tangente P i T como la posición lím ite de la secante Pi P 2 a m edida
que P i tiende a P i , se sigue que la pendiente m de la tangente es el
valor lím ite de la pendiente m s de la secante dado por ( 2 ) , y escribimos
2/ i — 2 /2 /nN
m = lim ---------- , (3 )
x2^>xl Xi — Xl
siempre q u e , por su p u esto , ese lím ite e x ista. La determ inación,
significado y propiedades de este lím ite son problem as fundam entales
del Cálculo infinitesim al y no serán considerados en este libro. U saremos
, sin em b arg o , la idea de la coincidencia de dos puntos sobre
u na curva , como se indica en la siguiente discusión.
E n nuestro estudio no será necesario obtener la pendiente de una
tangente calculando el lím ite expresado por ( 3 ) , ya que restringirem os
nuestro trabajo a la determ inación de las ecuaciones de tangentes a
curvas planas rep resen tad as, an alíticam en te, por ecuaciones algebraicas
de segundo grado. T om am os, por lo ta n to , (1 ) como tipo de
tales ecuaciones y consideram os el sistem a form ado por esta ecuación
y la ecuación de la recta ,
y = m x + k . (4 )
Las soluciones comunes de (1 ) y (4 ) son dos y pueden obtenerse
sustituyendo prim ero y por m x + k en ( 1 ) , y resolviendo la ecuación
cuadrática en una variable que resu lta, de la forma
ax2 + bx + c = 0 , a 0. (5 )
Las raíces de (5 ) pueden ser reales y desiguales, reales e iguales o
com plejas (Apéndice IB , 3) correspondiendo, respectivam ente, a la
interpretación geom étrica de que la recta ( 4 ) y la curva (1 ) se corten
en dos puntos diferentes, tengan un punto común o no se corten.
P ara el caso de intersección en dos puntos diferentes, la recta (4 ) es
u na secante de la curva ( 1 ) . S i , a h o ra , im aginam os que varían los
coeficientes de la ecuación (4 ) de tal m anera que una de las raíces
reales de (5 ) se aproxim a a la otra , esto equivale , geom étricam ente ,
a que la secante va variando hasta ocupar la posición lím ite de la ta n ­
gente , como en la definición a n te rio r. De este razonam iento se
deduce , por lo tan to , que la igualdad de las ralees de la ecuación (5 )
es una condición para la tangencia de la recta (4 ) a la curva ( 1 ) .
H arem os uso de esta condición al determ inar las ecuaciones de las
tangentes a las curvas planas algebraicas de segundo g ra d o .