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76 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Es evidente, sin em bargo, q u e , en cualquier caso p articular, no
podemos usar en (6) ambos signos del radical, ya que esto nonos
daría un único valor para el ángulo ro. Para determinar el signo de
este radical, notamos en primer lugar q u e , cuando p es diferente
de cero, debe ser positivo (Art. 31). En este caso, la relación (5)
m uestra que k y C deben ser de signos diferentes y , por ta n to , que
al radical de (6) se le debe dar el signo opuesto al de C .
Si la recta pasa por el origen , en la forma (l)es(7 = 0,yp = 0
en la (2), y el signo del radical no puede ser determinado por la relación
(5). E n este caso, sin embargo, hemos elegido, como se estableció
en la nota del teorema 7 , Artículo 31, restringir los valores
de a) al intervalo
0 £ co < 180° ,
en donde sen o> no es negativo. La relación (4) nos dice entonces
que k y B deben concordar en signo si B 5^ 0 , y , por ta n to , al radical
de (6) se le debe dar el mismo signo que tenga B .
Finalm ente, si ambos B y C son iguales a cero en la forma
general (1), la relación (4) m uestra que sen cu = 0. Por tan to ,
tu = 0o , ya que cu < 180° para C = 0 como ya hemos dicho. E ntonces
eos co = 1, y la relación (3) m uestra que k y A deben concordar
en signo.
Los resultados anteriores quedan resumidos en el siguiente
T e o re m a 8 . La forma general de la ecuación de una recta,
puede reducirse a la forma normal,
Ax + By + C = 0 , (1)
x eos co + y sen co — p = 0,
dividiendo cada término de ( 1) por r = ± V A! + B ! , en donde el
signo que precede al radical r se escoge como sigue:
a ) S i C 0 , r es de signo contrario a C .
b) Si C = 0 y B ?^ 0, r y B tienen el mismo signo.
c) »S¿C = B = 0,r2/A tienen el mismo signo.
Ejemplo. La ecuación de una recta es 5x — 7y — 11 = 0. Reducir su
ecuación a la forma normal, y hallar los valores de p y co.
Solución. Para la ecuación dada, A = 5, B = — 7 y C = — 11. Por
anto, ± y/ A 2 + B2 = =±= \ / 52 + ( — 7) 2 = =*=\/ 74. Como C es negativo,
damos al radical el signo positivo. Dividiendo la ecuación dada por y/ 74,
obtenemos su forma normal,
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