geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

está determinado por la fórmula
EL PLANO 351
AA' + BB' + C C'
eos e — ± ■ , — — ■.
V A2 + B2 + C2 V A'2 + B /2 + C /2
Si los planos (1 ) y (2) son paralelos, sus normales son paralelas.
Luego , por el corolario 1 del teorema 7 , Artículo 112, una condición
necesaria y suficiente para el paralelismo de dos planos está dada por
las relaciones
A = Te A ' , B = k B ', C = k C ', (3)
en donde k es una constante diferente de cero.
Si los planos (1 ) y (2 ) son perpendiculares, sus normales son
perpendiculares. Por tanto , por el corolario 2 del teorema 7 , Artículo
112, una condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad
está dada por la relación
A A ' + B B ' + CC' = 0. (4)
Dos planos son idénticos o coincidentes solamente en el caso de ser
paralelos y tener un punto común. Supongamos que los planos (1) y (2)
son paralelos y que tienen el punto Pi (x i, y ] , zi) com ún. Por ser
paralelos se deben cumplir las relaciones (3), y podemos escribir la
ecuación (1 ) en la forma
kA 'x + kB 'y + kC'z + D — 0. (5)
M ultiplicando la ecuación (2 ) por k , obtenemos
kA 'x -\- k B 'y + kC'¿ + kD ' = 0. (6)
Como el punto P i está sobre ambos planos, sus coordenadas
( x i, y i , z¡) deben satisfacer a las ecuaciones (1) y (2 ), y , por tanto
, también a las ecuaciones (5) y (6), de las cuales tenem os, respectivam
ente ,
kA 'xi + kB 'yi + kC'zi + D = 0 , (7)
kA ’x i + kB 'yi + kC'zi + kD' = 0. (8 j
Como los primeros miembros de ambas ecuaciones (7 ) y (8) son
constantes e iguales a cero, son iguales entre s í, de donde
D = k D 1.
Combinando este último resultado con las relaciones (3 ) anteriores,
tenem os, como una condición necesaria y suficiente para la coincidencia
de los planos (1 ) y (2), las relaciones
A = k A ', B = k B ', C = k C ', D = k D '; (k ^ 0 ). (9)