geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 233
23. Demostrar que las raíces de la ecuación (8), Artículo 77, son reales y
desiguales demostrando que su discriminante puede escribirse en la forma de la
cantidad positiva
(a2 — 62 — x r + yi2) 2 + 4xi3t/i2.
24. Demostrar que una raíz de la ecuación (8) , Artículo 77, está comprendida
entre — a2 y — b2 demostrando que el primer miembro de la ecuación es
igual a la cantidad positiva (a2 — b2) x i2, a > b, xi 0, para k = — a2, y
que es igual a la cantidad negativa (£>2 — a2) y r , a > b, yi o, para k igual
a — b2.
25. Demostrar que si se toma suficientemente grande la cantidad positiva X,
entonces, para k = — í>2 + el primer miembro de la ecuación (8) , Artículo 77,
tiene un valor positivo y, por tanto, que en vista del ejercicio 24, la ecuación
(8) tiene una raíz comprendida entre — b2 y — 62 + /..
26. Discutir el sistema de cónicas representado por la ecuación
" + ^ T = 1 -
9 + k 1 5 + k
Utilizando los mismos ejes coordenados, dibujar los seis elementos de este sistema
correspondientes a los valores de k = 0, 7, 16, — 8, — 7, — 6.
27. Hallar las ecuaciones de las dos cónicas del sistema del ejercicio 26 que
pasan por el punto (2, 3) .
28. Discutir el sistema representado por la ecuación (9) del Artículo 77.
Sobre unos mismos ejes coordenados, dibujar los seis elementos de este sistema
cor re spondien tesa los valores de & = 1, 2, 3, — 1, — 2, — 3.
29. Demostrar que por cualquier punto no contenido en el eje X, pasan
precisamente dos parábolas del sistema (9) del Artículo 77, abriéndose una de
ellas hacia la derecha y la otra hacía la izquierda.
30. Demostrar que la familia de parábolas homofocales y coaxiales del sistema
(9) del Artículo 77 es auto-ortogonal. Sugestión. Usese el teorema 7,
Artículo 59.
78. Secciones planas de un cono circular recto. E l nom bre de
secciones cónicas con que se designa a la parábola , elipse e hipérbola
tienen su origen en el hecho de que estas curvas se obtuvieron por p rim
era vez como secciones planas de un cono circular re c to .
Consideremos un cono circular recto de vértice V , cortado por un
plano jt que no pase por V , tal como se indica en la figura 107.
Sean S y S' dos esferas inscritas en el cono y tangentes a jt en los
puntos F y F', respectivam ente. Sean ju y m los planos respectivos
de los círculos de contacto de las esferas S y S ’ y el cono ; estos
planos son perpendiculares al eje del cono. Sean l y V , respectivam
ente , las intersecciones de jt con jti y Ji2 . Vamos a dem ostrar
que C, curva de intersección de jt y el co n o , es una sección cónica
que tiene a F y F' por focos y a l y l', respectivam ente, como
directrices correspondientes.