geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA HIPERBOLA 203
10. Discutir y trazar la gráfica de la ecuación xy — - 8.
11. Demostrar que la excentricidad de toda hipérbola equilátera es igual
a \ / 2 .
12. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de una
hipérbola equilátera a sus asíntotas es una constante.
13. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
mueve de tal manera que el producto de sus distancias a dos rectas perpendiculares
es siempre igual a una constante.
14. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto
(— 1, — 5) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados.
15. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera
a su centro es media proporcional entre las longitudes de los radios vectores
del punto. Sugestión: Véase el ejercicio 22 del grupo 30, Artículo 65, y el
ejercicio 11 de este grupo.
16. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la
hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación
9 X 2 _ 4 y 2 = 3 6.
17. Demostrar que dos hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas.
18. Demostrar que los focos de un par de hipérbolas conjugadas están sobre
una circunferencia.
19. Demostrar que si una hipérbola es equilátera, su hipérbola conjugada
es también equilátera.
20. La excentricidad de la hipérbola b2 x 2 — a2 y2 = a2 b2 es ei. Si la excentricidad
de su hipérbola conjugada es e2 demostrar que ei : e2 = b : a.
21. Si las excentricidades de dos hipérbolas con jugadas son ci y et, demostrar
que ei8 + e¡rj = ei1 ei2.
22. Demostrar que la distancia de un foco a una cualquiera de las asíntotas
de una hipérbola es igual a la longitud de su semieje conjugado.
23. Sí a es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola
b2 x 2 — a2 y2 = a2 b2, demostrar que su excentricidad es igual a sec a.
2i. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola,
corta a la curva solamente en un punto.
25. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de una
hipérbola a sus asíntotas es constante.
69. Segunda ecuación ordinaria de la hipérbola. Si el centro de
una hipérbola no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes
coordenados, sus ecuaciones pueden obtenerse tal como se determ inaron
am bas formas de la segunda ecuación ordinaria de la elipse
(A rt. 62). Por esto, se deja al estu d ian te, como ejercicio , el demostra
r el siguiente teorema :
T e o r e m a 3 . La ecuación de una hipérbola de centro el punto
(h , k ) y eje focal paralelo al eje X , es de la forma