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158 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Solución. Por el teorema 3, la ecuación
4x2 - 20* — 24y + 97 = 0 (6)
representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.
Si reducimos la ecuación (b) a la segunda forma ordinaria, completando el
cuadrado en x, obtenemos
1(y — 3). (7)
De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del vértice son
( f s) . Como 4p = 6, p — y la parábola se abre hacia arriba. Entonces,
como el foco está sobre el eje y el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coorde­
nadas del foco son ( — , 3 4- — V o sea, ( — , —V La ecuación de la directriz
\ 2 2 } \ 2 2 )
3 3
es y = 3 — —, o sea, y = --, y la longitud del lado recto es I 4p | = 6.
Se recomienda al estudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejemplo.
También se recomienda resolver el problema por traslación de los ejes
coordenados.
En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la parábola,
dadas por el teorema 2 , hay tres constantes arbitrarias independientes
o parám etros, h , k y p . Por ta n to , la ecuación de cualquier parábola
cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados puede determinarse
a partir de tres condiciones independientes. Veamos un
ejem plo.
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X
y que pasa por los tres puntos — 1^, (0, 5) y (— 6, — 7) .
Solución. For el teorema 2, la ecuación buscada es de la forma
(y - h) 2 = 4p (x - h) .
Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la forma dada por el teorema
3, a saber,
Cy2 + Dx -f £y + F = 0.
Como C 9¿ 0, podemos dividir toda la ecuación por C, obteniendo así
y2 + D 'x + £ 'y + F' = 0, (S)
en donde D ' = — , £ ' = — y F f = — son tres constantes por determinarse.
C C C
Como los tres puntos dados están sobre la parábola, sus coordenadas deben
satisfacer la ecuación (8) . Por tanto, expresando este hecho, obtenemos las
tres ecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados:
í O i -1), 1+fíD'- £' + £' = 0,
(0, 5) , 25 + 5£' + F> = ü,
( (-6, -7), 4 9 -6 D' - 7 £ ' + F'=0,