geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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176 GEOMETRIA ANALITICA PLANA Si de la ecuación (5 ) despejam os y , obtenem os y — ± —■ V a 2 — x l . (7 ) Luego , se obtienen valores reales de y solam ente para valores de x del intervalo — a
LA ELIPSE 177 Consideremos ahora el caso en que el centro de la elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y . Las coordenadas de los focos son entonces (0 , c) y (0 , — c ) . E n este caso , por el mismo procedim iento empleado para deducir la ecuación (5), hallam os que la ecuación de la elipse es Í + S = 1 > en donde a es la longitud del semieje m a y o r, b la longitud del semieje m enor, y a 2 = b2 + c2, L a discusión com pleta de la ecuación (11) se deja al estudiante como ejercicio. Las ecuaciones (5 ) y (11) se llam an , generalm ente, primera ecuación ordinaria de la elipse. Son las ecuaciones m ás simples de la elipse y , por ta n to , nos referirem os a ellas como a las form as canónicas . Los resultados anteriores se pueden resum ir en el siguiente T e o r e m a 1 . La ecuación de una elipse de centro en el origen , ejí focal el eje X , distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es - + £ = 1 ° 2 b 2 • S i el eje focal de la elipse coincide con el eje Y , de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c ) y (0, — c ) , la ecuación de la elipse es y2 y2 — + — = 1 b 2 T a 2 Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje m enor, y a , b y c están ligados por la relación a 2 = b2 + c2. 2b2 También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es ----- y la Qj excentricidad e está dada por la fórm ula c V a ’ - b ! e = — = ---------------- < 1. a a NOTA. Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos en x" y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.
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