geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 235
De (1), (2) y (3), tenemos
P F
Ip a I
sen a
sen (3'
Para cada plano secante t í, el ángulo a es constante; también el
ángulo (3, como acabamos de ver, es constante. Por tanto , el segundo
miembro de (4) es una constante positiva que puede designarse por e ,
de m anera que
I PF ' = e.
PA
Pero esta relación e s , precisam ente, la condición geométrica (1 ) del
Artículo 75 de la definición general de cónica. Por ta n to , C es una
(b) Elipse
Fig. 108
cónica que tiene el foco F y la directriz correspondiente l . Análogamente
, podemos demostrar que F ' y V son, respectivam ente, un
foco y una directriz correspondientes de C .
El ángulo (3 es una constante para un cono dado , pero el ángulo a
varía a medida que el plano secante rt toma diferentes posiciones.
Si a = (3 , la ecuación ( 4 ) m uestra que e = 1 , y la sección es una
parábola; en este caso, el plano jt es paralelo a una generatriz del
cono y , por tanto , corta solamente una hoja de la superficie cónica,
como se indica en la figura 108 (a). Si a < (3 , la ecuación (4) indica
que e < 1, y la sección es una elipse ; en este caso , el plano jt corta
todas las generatrices de la superficie del cono , como se ve en la figura
108 (6). En particular, si a = 0 , el plano jt es perpendicular al
eje del cono, y la sección es una circunferencia. Finalmente, si a > (3,
la ecuación (4) indica que e > 1 y la sección es una hipérbola; en
(4)