geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

386 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Ejemplo 2. Hallar la distancia más corta entre las dos rectas cruzadas
h: 2x — y + z + 3 = 0, x + y + 2z + 3 = 0;
y h: x — y — z — 1=0, 3x — z — 7 = 0.
Solución. Por el Artículo 121, la familia de planos que pasan por í¡ es
2x - y + z + 3 + k (x + y + 2z + 3) = 0. (4)
Por el artificio de los números directores (Art. 113) , los números directores de
Í2 son [1, — 2, 3 ]. Por tanto, por el teorema 4 anterior, para que un plano
de la familia (4) sea paralelo a l2 debemos tener
1 (2 + k) - 2 ( - 1 + k) + 3 (1 + 2k) = 0,
de donde, h = — Sustituyendo este valor de k en la ecuación (4), obtenemos
que la ecuación del plano que pasa por li y es paralelo a li, es
x — 4y — 3z — 2 = 0. (5)
Las coordenadas de un punto P1 de /2 son (0, 6, — 7) . La distancia buscada d
es la distancia de P1 al plano (5) . Por el teorema 11 del Artículo 120, esta distancia
es
« 1 0 - 4 . 6 - 3 ( - 7 ) - 2 | 5
d --------------------------------------------------- >/ 2b .
V 1 + 42 + 3a 2°
EJERCICIOS. Grupo 59
Dibujar una figura para cada ejercicio.
x 1 2 tj z ~ 4
1. Hallar el ángulo que forman la recta — = — _— y el pla­
no 2x + 3y — z + 11 = 0.
2. Hallar el ángulo formado por la recta
x — 2t/ + z + 4 = 0, x + 2y + 3z — 4 = 0,
y el plano 3* — 7y + 8z — 9 = 0.
3. Partiendo del teorema 5, obtener la condición para el paralelismo de
una recta y un plano, dada por el teorema 4 del Artículo 127. (Ver el corolario
2 del teorema 7, Art. 112.)
4. Partiendo del teorema 5, obtener la condición para la perpendicularidad
de una recta y un plano, dada por el teorema 4 del Artículo 127. (Ver el corolario
1 del teorema 7, Art. 112.)
6. Hallar la distancia del punto (— 1, 2, 3) a la recta
x — 7 _ y + 3 _ z
6 - 2 3 ’
6. Hallar la distancia del punto (7, 7, 4) a la recta
bx + 2y + z — 4 = 0, bx — y — 2z — 10 = 0.