geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES 257
las perpendiculares P B y PC al eje polar y a la d irectriz, respectivam
ente .
P ara deducir la ecuación polar de la cónica, em plearem os la definición
general dada en el A rtículo 75. Según ella el punto P debe
satisfacer la condición geom étrica
PO
, , = í ’
| PC |
en donde e es la excentricidad Ahora b ie n ,
\PÓ\=r
y ___ ___ ___ _
| PC | = | DB | = | DO | + | OB | = p + r eos 6 .
Sustituyendo estos valores en (1), obtenem os
de d o n d e ,
r
------------------- - = Q
p + r eos 6 ’
r _ -------f£--------- (2)
1 — e eos 6 v ‘
Podem os d em o strar, recíprocam ente, que cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación (2 ) satisface la condición geométrica
(1 ) y , por tan to , está sobre el lugar geom étrico. Según esto ,
la ecuación (2 ) es la ecuación buscada de la cónica.
La ecuación (2 ) se ha deducido en el supuesto de que la directriz
está a la izquierda del p o lo . Si la directriz está a la derecha del polo
y a p unidades de é l, podemos d em ostrar, análogam ente, que la
ecuación de la cónica es
r = ____m ____ (3 )
1 + e eos 6 ' y J
D e m anera sem ejante, si el eje focal coincide con el eje a 90° de
m anera que la directriz sea paralela al eje polar y a p unidades de é l ,
podemos dem ostrar que la ecuación de la cónica es de la form a
ep
1 ± e sen 6 ’
debiéndose tom ar el signo positivo o el negativo según que la directriz
esté arriba o abajo del eje p o la r.
Los resultados precedentes se resum en en el siguiente