geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

156 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto
(3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2) . Hallar también la ecuación de su directriz
y la longitud de su lado recto.
Solución. Como el vértice V y el foco F de una parábola están sobre su
eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tiene la misma abscisa 3, se
sigue que el eje a es paralelo al eje Y, como se índica en la figura 80. Por
tanto, por el teorema 2, la ecuación de la parábola es de la forma
(x — h) 2 = 4p (y — k) .
Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse
O - 3)2 = 4p (y - 4) .
Ahora bien, [ p | =* | FV | = | 4 — 2 | = 2. Pero, como el foco F está abajo del
vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Por tanto, p = — 2,
y la ecuación de la parábola es
U - 3)2 = - 8(y - 4),
y la longitud del lado recto es 8.
Designemos por A el punto en que el eje a corta a la directriz 1. Como
V (3, 4) es el punto medio del segmento A F , se sigue que las coordenadas de A
son (3, 6) . Por tanto, la ecuación de la directriz es y = 6.
Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación
obtenemos
que puede escribirse en la forma
(y - k )2 = 4 p(x-h),
y2 — 4 px — 2ky + k'¿ + 4 ph = 0 ,
y2 + aix + a